文档介绍：2013级自动化一班高等数学（下）总结 2014年6月12日星期四
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高等数学下册知识点
一：上册补充
曲面方程的概念：
旋转曲面：
面上曲线，
绕轴旋转一周：
绕轴旋转一周：
柱面：
表示母线平行于轴，准线为共 23 页
上有界，定义，
.
向量形式：
性质：
用表示的反向弧 , 则
计算：
设在有向光滑弧上有定义且连续, 的参数方程为
，其中在上具有一阶连续导数，且，则
两类曲线积分之间的关系：
设平面有向曲线弧为，上点处的切向量的方向角为：，，，
则.
格林公式
1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数在
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D 上具有连续一阶偏导数, 则有
2、为一个单连通区域，函数在上具有连续一阶偏导数，则
曲线积分 在内与路径无关
曲线积分
在内为某一个函数的全微分
第一类曲面积分
定义：
设为光滑曲面，函数是定义在上的一个有界函数，
定义
性质：与前面相同（重点：奇偶对称性、对称轮换性）
计算：———“一单二投三代入”
，，则
第二类去曲面积分
概念面的侧，曲面在平面上的投影，流量
定义：
设为有向光滑曲面，函数是定义在上的有界函数，定义
同理，
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性质：（与前面积分有区别，因为积分时有侧的选取）
1），则
2）表示与取相反侧的有向曲面 , 则
计算：——“一投二代三定号”
，，在上具有一阶连续偏导数，在上连续，则,为上侧取“ + ”， 为下侧取“ - ”.
两类曲面积分之间的关系：
其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。
高斯公式
高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成, 的方向取外侧, 函数在上有连续的一阶偏导数, 则有
或
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通量与散度
通量：向量场通过曲面指定侧的通量为：
散度：（计算出来是一个数，而不是向量）
斯托克斯公式
斯托克斯公式：设光滑曲面 S 的边界 G是分段光滑曲线, S 的侧与 G 的正向符合右手法则, 在包含å 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
环流量与旋度
环流量：向量场沿着有向闭曲线G的环流量为
旋度：
（旋度是向量）
第十一章 无穷级数
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常数项级数
定义：
1）无穷级数：
部分和：，
正项级数：，
交错级数：，
2）级数收敛：若存在，则称级数收敛，否则称级数发散
3）条件收敛：收敛，而发散；
绝对收敛：收敛。
性质：
改变有限项不影响级数的收敛性；
级数，收敛，则收敛；
级数收敛，则任意加括号后仍然收敛；
必要条件：级数收敛.（注意：不是充分条件！）
审敛法
正项级数：，
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定义：存在；
收敛有界；
比较审敛法：，为正项级数，且
若收敛，则收敛；若发散，则发散.
比较法的推论：，为正项级数，若存在正整数，当时，，而收敛，则收敛；若存在正整数，当时，，而发散，则发散.
比较法的极限形式：，为正项级数，若，而收敛，则收敛；若或，而发散，则发散.
比值法：为正项级数，设，则当时，级数收敛；则当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散.
根值法：为正项级数，设，则当时，级数收敛；则当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散.
极限审敛法：为正项级数，若或，则级数发散；若存在，使得，则级数收敛.
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交错级数：
莱布尼茨审敛法：交错级数：，满足：，且，则级数收敛。
任意项级数：
绝对收敛，则收敛。
常见典型级数：几何级数：
p -级数：
函数项级数
定义：函数项级数，收敛域，收敛半径，和函数；
幂级数：
收敛半径的求法：，则收敛半径
泰勒级数
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展开步骤：（直接展开法）
求出