文档介绍：线性代数复****br/>1、求解非齐次线性方程组
解对方程组的增广矩阵B施以初等行变换
显然,R(A)=R(B)=3<5,所以方程组有无穷多个解,且等价于下面的方程组,解之,得
故原方程组的通解为
2、设四元线性方程组Ax=b,且R(A)= 3,已知是其三个解向量,其中, 求的通解。
解:特解,解空间的维数为1,为的解,则的通解为
3、设向量组
试问(1)当a、b为何值时,β能由α1,α2,α3,α4唯一的线性表示?
(2)当a、b为何值时,β不能由α1,α2,α3,α4线性表示?
(3)当a、b为何值时,β能由α1,α2,α3,α4线性表示,但表示法不唯一,并写出表示式.
解:β是否能由α1,α2,α3,α4线性表示、即非齐次线性方程组
x1α1 + x2α2 + x3α3 + x4α4 = β
是否有解。于是对方程组的增广矩阵施以初等行变换,得
显然,(1)当a≠-1时,b为任何值时,R(A)=R(B)=4,方程组有唯一解,所以β能由α1,α2,α3,α4唯一的线性表示;
(2)当a=-1时,b≠0时,R(A)=2,R(B)=3,方程组无解,所以β不能由α1,α2,α3,α4线性表示;
(3)当a=-1时,b=0时,R(A)=R(B)=2,方程组有无穷多个解,所以β能由α1,α2,α3,α4线性表示,且表示法不唯一,此时
于是方程组的通解为
故β=(-2k1+k2)α1 + (k1-2k2+1)α2 + k1α3 + k2α4,其中k1、k2为任意的常数。
4、设方程组Ax=b导出组Ax=0的基础解系为ξ1,ξ2,…,ξn-r,且η*为Ax=b的一个特解,试证ξ1,ξ2,…,ξn-r,η*线性无关.
证明: 设有n-r+1个常数,k0,k1,k2,…,kn-r使得
k1ξ1+ k2ξ2+…+ kn-rξn-r+ k0η*=0 (1)
因为Aξi=0(i=1,2,…,n-r),Aη*=b,所以在(1)的两边同时左乘A,便得
k1Aξ1+ k2Aξ2+…+ kn-Arξn-r+ k0Aη*=0
即 k0Aη*= k0b=0
得k0=0,于是(1)变成
k1ξ1+ k2ξ2+…+ kn-rξn-r=0
由于ξ1,ξ2,…,ξn-r线性无关,所以k1= k2=…= kn-r=0。故ξ1,ξ2,…,ξn-r,η*线性无关。
5、求线性空间R4中由向量组
所生成的子空间的维数和一个基。
解:维数为2,α1,α2 ,α3,α4任何两个都可构成一个基。
6、求数域F上三阶实对称矩阵在通常的矩阵的加法和数乘下构成的线性空间的基与维数.
解:维数为6,
基为:
7、设,问对于通常矩阵的加法和数乘,是否构成实数域R上的线性空间,如果是找出一个基,并求维数。
是,基为,2维。
8、设V={ x=(x1,x2,…,xn)| x1+x2+…+xn=0;x1, x2,…,xn∈R},问对于通常向量的加法和数乘,是否构成实数域R上的线性空间,如果是找出一个基,并求维数。
是,基为,n-1维.
9、设线性空间中一组基
E1=, E2=, E3=, E4=
求A=在这组基下的坐标。
解:
10、已知R3中的两个基分别为
及,
且由基α1,α2 ,α3到基β1,β2