文档介绍：计算方法 复化求积公式
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称 为复化梯形公式，下标n表示将区间n等分。
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第3页，共34页，2
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1）同一行每个公式都是节点数目相同的求积公式；
2）同一列求积公式的代数精度相同；
3）表中对角线上相邻元素之差小于允许误差时，停止计算。
加速公式
在变步长的过程中运用加速公式，就能将粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度较高的辛普森值Sn 、柯特斯值Cn和龙贝格值Rn .
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第6节 高斯（Gauss）求积公式
在构造Newton-Cotes公式时，限定用积分区间[a,b]的等分点作为求积节点(等距划分)，这样做虽简化了问题的处理过程，但同时也限制了精度。
在节点数目固定为n+1的条件下，能否通过适当选取求积节点xk的位置以及相应的求积系数Ak，使求积公式
具有尽可能高(最高)的代数精度(记为,m）？
提出问题：
1)
2)
为了使问题具有一般性，我们主要考虑如下带权积分：
问 (1) 最高可达多少？
(2) 如何构造这样的公式？
插值型求积公式
(*)
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求积公式含有2n+2个待定参数xk、Ak(k＝0,1,…,n)．若用待定系数法确定它们, 则最好需要2n+2个独立的条件, 根据代数精度的定义, 令 f (x) = 1, x, x2, …, x2n+1 ，代入上面求积公式, 得到非线性方程组
若解存在(? 可证), 求解. 从而求积公式的代数精度从n次提高到2n+1次. 这类求积公式称为高斯（Gauss）求积公式.
将节点 x0 … xn 以及系数 A0 … An 都作为待定系数。令 f (x) = 1, x, x2, …, x2n+1 代入上面公式求解（解存在！），得到的公式具有2n+1 次代数精度。这样的节点称为Gauss 点，公式称为Gauss 型求积公式。
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分析上面的公式，易见
问题6.
方法一
令公式对于f (x) = 1, x, x2, x3 ，准确成立，则有
两点Gauss公式
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第一步
第二步
1）
3）
2）
4）
1）
2）
3）
4）
代入1）、2）
第三步
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称上面的公式为两点Gauss求积公式。
注释：从上面的例子，可看到求解非线性方程组较复杂，通常n≥2就很难求解．故一般不通过解方程来求待定 系数xk 及 Ak (k＝0,1,… , n)．
从分析高斯点的特性着手，来构造Gauss 求积公式.
怎么办？
即
方法二
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由于前面的求积公式是插值型的，故至少具有1次代数精度，从而有
另一方面，易见
于是
故要使
只需
据正交多项式的性质可知
从几何直观上看，是
寻找两点，使通过该
两点的直线在[-1,1]上
围成的面积与f(x)在
该区间上围成的面积
相等！！
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解之，得
上面所得到的求积公式称为Gauss-Legendre求积公式.
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一般积分区间[a,b]上的两点Gauss-Legendre求积公式:
例：用两点高斯公式求 的近似值。
解：
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(k=0,1,…,n)为Gauss点
一、一般的高斯(Gauss)求积公式
关键在于求高斯点.
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这就是高斯(Gauss)点所应满足的条件!
换一句话说，在[a,b]上带权ρ(x)的n+1次正交多项式的零点就是求积公式的Gauss点.
有了高斯点xk，再使用如下线性方程组
可解得Ak.
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二、高斯求积公式的余项
/* 设H为f 的过x0 … xn的插值多项式 */
/*