文档介绍：习题七
( A )
1、设总体服从参数为和的二项分布,为取自的一个样本,试求参数的矩估计量与极大似然估计量.
解:由题意,的分布律为:
.
总体的数学期望为
.
设是相应于样本的样本值,则似然函数为
取对数
,
.
令,解得的极大似然估计值为
.
从而得的极大似然估计量为
.
2,、设为取自总体的一个样本,的概率密度为
其中参数,求的矩估计.
解:取为母体的一个样本容量为的样本,则
用替换即得未知参数的矩估计量为.
3、设总体的一个样本, 的概率密度为
其中是未知参数,是已知常数,求的最大似然估计.
解:设为样本的一组观测值,则似然函数为
取对数
解极大似然方程
得的极大似然估计值为
从而得的极大似然估计量为.
4、设总体服从几何分布
试利用样本值,求参数的矩估计和最大似然估计.
解:因,
用替换即得未知参数的矩估计量为.
在一次取样下,样本值即事件
同时发生,由于相互独立,得联合分布律为
,
即得极大似然函数为
取对数
解极大似然方程
得的极大似然估计值为
从而得的极大似然估计量为.
5、设总体的概率密度为为未知参数, 为总体的一样本,求参数的最大似然估计.
解:设为样本的一组观测值,则似然函数为
取对数
解极大似然方程
得的极大似然估计值
从而得的极大似然估计量为.
6、证明第5题中的最大似然估计量为的无偏估计量.
证明:由第5题知的最大似然估计量为
故
又
从而,即是的无偏估计.
7,、设总体的概率密度为,为未知参数, 为总体的一个样本,求参数的的矩估计量和最大似然估计量.
解:因
用替换即得未知参数的矩估计量为
从而得未知参数的估计量为
设为样本的一组观测值,则似然函数为
取对数
解极大似然方程
得的极大似然估计值
从而得未知参数的估计量为.
8、设总体,已知,为未知参数, 为的一个样本,, 求参数,使为的无偏估计.
解:由无偏估计的定义,要使为的无偏估计,则
又
由题意知总体,从而
且
由对称性有
从而有,即.
9、设是参数的无偏估计量,且有,试证不是的无偏估计量.
证明:因为是参数的无偏估计量,故,且
有
即不是的无偏估计量.
10、设总体,是来自的样本,试证:估计量
;;
都是
的无偏估计,并指出它们中哪一个最有效.
证明:总体,是来自的样本,则
即估计量都是的无偏估计.
又
有,从而估计量最有效.
11,、设是总体的一个样本,,证明:是的相合估计量.
证明:由题意,总体,则
由样本的独立同分布性知
,即是的无偏估计.
又,且
故,
有
故是的相合估计量
12、设总体的数学期望为,方差为,分别抽取容量为和的两个独立样本,,分别为两样本均值,试证明:如果满足,则是的无偏估计量,并确定,使得最小.
解:由题意,,且,分别为容量为和的两个独立样本得样本均值,故,.
当时,有,即是的无偏估计量.
令,由知函数的稳定点为,且,故为函数唯一极小值点,即当时,最小.
13、设是总体的一个样本, 的概率密度为,,未知,已知,试求的置信水平为的置信区间.
解:由题意,统计量,则给定置信度为时,有
由置信区间的定义知,的置信水平为的置信区间为.
14、从大批彩色显像管中随机抽取100只,其平均寿命为10000小时,,.
解:设是母体的样本容量为的子样,则显像管平均寿命