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2021年全国初中数学竞赛预赛
试题及参考答案
一、选择题（共6小题，每题6分，共36分) 以下每题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题选C．
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5．关于x的不等式的解集为，那么a应满足【 】
（A） (B） （C）a≥1 (D)a≤1
【答】B．
第6题图
解：由，得，由不等式的解集为，知,所以，得．故应选B．
6．如图的象棋盘中，“卒"从A点走到B点，最短路
径共有【 】
（A）14条 （B)15条
（C）20条 （D)35条
【答】D．
解：如右图，从点A出发，每次向上或向右走一
步，到达每一点的最短途径条数如图中所标数字，如:
到达点P、Q的最短途径条数分别为2和3. 以此类推,
到达点B的最短途径条数为35条。 选D.
二、填空题（共6小题,每题6分，共36分）
第8题图
7．计算: ．
【答】．
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解：原式=
8．如图是三个反比例函数，,
在x轴上方的图象，那么、、的大小关系为 ．
【答】．
解：由图象可知为负数,、为正数，不妨取x=1，代入解析式，显然点在点的正下方，所以,又为负数,所以．
9．有6个小球,其中黑色、红色、绿色各2个，它们除颜色外其它都一样，将它们放入一个不透明的袋子中，充分摇匀后，从中随机摸出2个球，摸出的球颜色一样的概率是 ．
【答】．
解：摸出的2个球都是黑球的概率是，所以摸出的球颜色一样的概率是。
10．如图，点C是线段AB上一个动点，∠A=∠B=30°,∠ADC=∠BEC=90°，假设AB=8cm，那么CD+CE= cm．
【答】4．
解：在Rt△ADC中,∠A=30°，得，同理,所以（ cm)．
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11．关于x的方程的两实数根之积等于，那么的值是 ．
【答】4．
解：由题意得，解得，当时，原方程无实数根，当时，原方程有两个不相等的实数根，所以.
12．计算：
.
【答】．
解：令，那么原式=×
==.
三、解答题（第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分）
13．某单位职工参加市工会组织的健身操比赛进展列队,6人一列少2人，5人一列多2人，4人一列不多不少,请问这个单位参加健身操比赛的职工至少有几人？
【答案】设这个单位参加健身操比赛的职工有y人，6人、5人、4人一列分别可以整排a、b、c列，那么．（a、b、c是正整数）
∴ 4分
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由②,得
因为c为正整数，可令 所以（m是正整数） ③
将③代入①，得
∴ 7分
因为b为正整数，可令 所以（n是正整数) ④
将④代入③，得 11分
∴ （n是正整数）.
当n=1时，y有最小值52. 即参加比赛列队的至少有52人. 14分
14．如图，在边长为1的正方形ABCD的边AB上任取一点E（A、B两点除外）,过E、B、C三点的圆和BD相交于点H，和正方形ABCD的外角平分线相交于点F，和CD相交于点G．
（1）求证：四边形EFCH是正方形;
（2）设BE=x，△CGH的面积是y，
求y和x的函数解析式，并求y的最大值．
【答案】（1）∵ E、B、C、H、F在同
一圆上，且∠EBC=90°，
∴ ∠EHC=90°，∠EFC=90°． 2分
又 ∠FBC=∠HBC=45°，∴ CF= CH． 4分
∵ ∠HBF +∠HCF=180°,∴∠HCF=90°． 6分
∴ 四边形EFCH是正方形． 8分
（2）∵ ∠GHB +∠GCB=180°,
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∴ ∠GHB=90°,由（1）知∠CHE=90°，
∴ ∠CHG +∠CHB=∠EHB+∠CHB．
∴ ∠CHG =∠EHB．
∴ CG=BE=x, ∴DG=． 12分
∴ △CGH 中,CG边上是高为
∴ 15分
当x=时，y有最大值． 16分
15. 数学活动课上,李老师出示了问题：，如图①,在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，设BD=a,用含有a的式子表示AD的长.