文档介绍：优化原理与方法》作业解答要点
建造一容积为V(m3)的长方形蓄水池(无盖)，要求选择其长、宽、高，使表面积最小，从而建筑用料最省。试写出此问题的数学模型。
寻求
min.
.
x = [x , x , x ]T 使用牛顿法求下列函数的极小点，终止准则
x2 + 4x2 + 9x2 一 2x +18x ,xo 二[0,0, 0]t ；
1) 1 2 3 1 3
/ 、(x 一 1)4 + 2x2 ,xo 二[0,1]t ；
2) 1 2
[解](1)
2 0 0
H (x)二 0 8 0,
0 0 18
(2 x - 2 )
1
Vf (x)二 8x
.18 x +18 丿
3
(0、
(1 ]
Vf(x1)=
0
,x1为极小点。x* =
0
10丿
<—1丿
(0、
X1 二 x0 一 H(Xo)-1 Vf (xo)二 0
10丿
f * 二 1 + 0 + 9 — 2 —18 = —10
_2 0 0_
-1
(—2「
(0、
(—1「
(1 ]
0 8 0
0
=
0
—
0
=
0
0 0 18
<18丿
10丿
< 1丿
<—1
2)
「12( x —1)2
0_
< 7 Z* Z \
(4(x 一 1)3〕
H(x)=
1
，Vf (x) =
1
0
4
1 4x J
(0、
j2 0_
-1
(-41
(01
(-1/31
(1/ 31
,1丿
0 4
,4丿
,1丿
,1丿
,0丿
||Vf (兀 1)2 > ,
继续迭代。
xi = xo - H(xo)-i Vf (xo)=
Vf (兀 1)=
32/27、
< 0丿
(1/ 31
「16/3 0_
-1
(-32/271
(1/ 31
(-2/91
(5 /91
,0 >
0 4
,0丿
,0 >
,0丿
,0丿
x 2作为近似极小点。
x2 = xi - H(xi)t Vf (xi)=
,||Vf (x1)|2 < ,达到迭代精度要求,
Vf (x 2)=
256/729、
< 0丿
, f * u (_)4 u
用共轭梯度法求解
min. f (x)二 x 2 + 2x 2 一 4x 一 2x x
1 2 1 1 2
取 x0 二[1, 1]t。
[解]Vf(x)二

1 2
、4 x 一 2 x 丿
21

d 0 = - Vf ( x0)
x1 = x0 -1 Vf (x0)=
-t
申(t) = (1 + 4t)2 + 2(1 - 2t)2 - 4(1 + 4t) - 2(1 + 4t)(1 - 2t)
令0(t) = 8(1 + 4t) - 8(1 - 2t) -16 + 32t - 4 = 80t - 20 = 0，t = 1 / 4，
Vf (x1)=
(-1 ]
<-2丿
卩=|Vf (x1)『/| |Vf7( x 023 = 5/20 = 1/4

min. f (x)二 x + p x
12
. -x + x < 1 12
—x + 2 x < 4 12
x > 0, > 0 12
试用图解法讨论，当0取何值时：
(1)有唯一的最优解，并指出其x*及f* ； (2)有无穷多个最优解；(3)不存在有界的最有界。
(1)有唯一解的情况
当①负梯度方向介于山与d2之间时，即-0< 0亦即0> 0时有唯一解x*=(0,0),
f *=0；
②负梯度方向介于d 2与d3之间时，即1 >-0 >0或-1<0<0时有唯一解x*=(0,1), f *=0 ;
③负梯度方向介于d3与d4之间时即2>-0 >1或-2<B<-1时有唯一解x*=(2 ,), f *=2+3 0。
有无穷多解的情况
0=0时，解点在OA上；
0=-1时，解点在AB 上;
0=-