协方差及相关系数课件.ppt

文档介绍：协方差及相关系数
一、协方差
3. 计算协方差的一个简单公式


4. 随机变量和的方差与协方差的关系

二、相关系数
相关系数的性质
四个等价命题
前面我们介绍了随机变量的数学期Y)；
4、D(X+Y)=D(X)+D(Y)。
四个等价命题
证明：12。已知XY =0，
1、X与Y不相关，XY =0；
　　2、Cov(X,Y)=0；
　　3、E(XY)=E(X)E(Y)；
4、D(X+Y)=D(X)+D(Y)。
四个等价命题
证明：23。已知Cov(X,Y)=0，
因为Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
所以E(XY)=E(X)E(Y)
1、X与Y不相关，XY =0；
　　2、Cov(X,Y)=0；
　　3、E(XY)=E(X)E(Y)；
4、D(X+Y)=D(X)+D(Y)。
四个等价命题
证明：34。已知E(XY)=E(X)E(Y) ，
因为D(X+Y)=D(X)+D(Y) +2Cov(X,Y)
= D(X)+D(Y) +2[E(XY)-E(X)E(Y)]
所以D(X+Y)=D(X)+D(Y)
1、X与Y不相关，XY =0；
　　2、Cov(X,Y)=0；
　　3、E(XY)=E(X)E(Y)；
4、D(X+Y)=D(X)+D(Y)。
四个等价命题
证明：41。已知D(X+Y)=D(X)+D(Y) ，
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
所以XY =0
这一节我们介绍了协方差和相关系数
相关系数是刻划两个变量间线性相关程度
的一个重要的数字特征.
注意独立与不相关并不是等价的.
当(X,Y)服从二维正态分布时，有
X与Y独立
X与Y不相关
例1
例2　. (X,Y)的联合分布律如表，求：(1)ρXY (2) X与Y是否相互独立 ？
-2 -1 1 2
1 0 1/4 1/4 0
4 1/4 0 0 1/4
X
Y
解： 先求X的 边 缘分布
1/2
1/2
1/4 1/4 1/4 1/4
例1
-2 -1 1 2
1 0 1/4 1/4 0
4 1/4 0 0 1/4
X
Y
1/2
1/2
1/4 1/4 1/4 1/4
同理可得
例1
例3(Ex.)　. (X,Y)的概率密度为
，求：ρXY
解： 先求X，Y的边 缘分布
y
y=x
O
1
x
1
例1
y
y=x
O
1
x
1
例1
例4(Ex.)
解：
例1
例4(Ex.)
解：
（3）对于二维正态分布，X、Y相互独立等价于X、Y不相关，
故ξ与Z相互独立。
矩、协方差矩阵
定义 设X和Y是随机变量，若
E(Xk), k=1,2,…
存在，称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩。
若
E{[X-E(X)]k}, k=1,2,…
存在，称它为X的k阶中心矩。
若
E(XkYl), k,l=1,2,…
存在，称它为X和Y的k+l 阶混合矩。
若
E{[X-E(X)]k [Y-E(Y)]l}, k,l=1,2,…
存在，称它为X 和Y的k+l 阶混合中心矩。
协方差Cov(X,Y)是X和Y的
二阶混合中心矩.
可见，
协方差矩阵的定义
将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩
排成矩阵的形式:
称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵.
这是一个
对称矩阵
类似定义n维随机变量(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵.
下面给出n维正态分布的概率密度的定义.
为(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵
称矩阵
都存在,
i, j=1,2,…,n
若
n维正态分布的几条重要性质
1. n维正态变量 (X1,X2, …,Xn)的每一个分量Xi,i=1,2,…,n都是正态变量；反之，若X1,X2, …,Xn都是正态变量，且相互独立，则(X1,X2, …,Xn)是n维正态变量。
n维正态分布的几条重要性质
2. n 维随机变量(X1,X2, …,Xn)服从n维正态分布的充分必要条件是X1,X2, …,Xn的任意和线性组合：
a1X1+ a2 X2+ …+ an Xn
服从一维正态分布。其中a1,a2,…,an，不全为零。
n维正态分布的几条重要性质
3. 若 X=(X1,X2, …,X