文档介绍：§ 冲激响应和阶跃响应
冲激响应
阶跃响应
一、冲激响应
由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应,简称冲激响应,记为h(t)。
h(t)=T[{0},δ(t)]
冲激响应的数学模型
响应及其各阶导数(最高阶为n次)
对于LTI系统,可以用一n阶微分方程表示
激励及其各阶导数(最高阶为m次)
令 f(t)=(t)
则 y(t)=h(t)
h(t)解答的形式
例:当特征根均为单根时
由于(t)及其导数在 t≥0+ 时都为零,因而方程式右端的自由项恒等于零,这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。
②与n, m相对大小有关
①与特征根有关
冲激响应求解举例1
解:
求特征根
冲激响应
求系统的冲激响应。
将f(t)→(t), y(t)→h(t)
带ε(t)
两种求待定系数方法:
求0+法
奇异函数项相平衡法
法一:求0+值确定系数
代入h(t),确定系数C1,C2,得
法二:用奇异函数项相平衡法求待定系数
根据系数平衡,得
解法三:线性时不变性质法
解:
求系统的冲激响应。
设h1(t)满足简单方程
将边界条件代入h1(t)式,解得 C1=1/2, C2=-1/2,
则由系统的线性时不变特性
冲激响应求解举例2
例2 描述某系统的微分方程为
y”(t)+5y’(t)+6y(t)= f”(t) + 2f’(t) + 3f(t)
求其冲激响应h(t)。
解根据h(t)的定义有
h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) (1)
h’(0-) = h(0-) = 0
先求h’(0+)和h(0+)。
由方程可知, h(t) 中含δ(t)
故令 h”(t) = aδ”(t) + bδ’(t) + cδ(t)+ r1(t)
h’(t) = aδ’(t) + bδ(t) + r2(t)
h(t) = aδ(t) + r3(t) [ri(t) 为不含δ(t) 的某函数]
代入式(1),有
aδ”(t) + bδ’(t)+ cδ(t) + r1(t) + 5[aδ’(t) + bδ(t) + r2(t) ]
+ 6[aδ(t) + r3(t) ] = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t)
整理得
aδ”(t)+ (b+5a)δ’(t)+(c +5b+6a)δ(t) + r1(t)+5 r2(t)+6 r3(t) = δ”(t) + 2δ’(t) + 3δ(t)
利用δ(t) 系数匹配,得 a =1 ,b = - 3,c = 12
所以 h(t) = δ(t) + r3(t) (2)
h’(t) = δ’(t) - 3δ(t) + p2(t) (3)
h”(t) = δ”(t) - 3 δ’(t) + 12δ(t)+ r1(t) (4)
对式(3)从0-到0+积分得 h(0+) – h(0-) = – 3
对式(4)从0-到0+积分得 h’(0+) – h’(0-) =12
故 h(0+) = – 3, h’(0+) =12