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文档介绍：Ch2、3. 矩阵
1. 矩阵的定义
一些特殊的矩阵:
零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、
对角阵、数量阵、单位阵
2. 矩阵的基本运算
矩阵相等:
同型矩阵:两个矩阵的行数相等、列数也相等
两个矩阵同型,且对应元素相等
矩阵加(减)法、数与矩阵相乘
矩阵与矩阵相乘:
乘法满足
矩阵乘法不满足:交换律、消去律
A是n 阶方阵,
方阵的幂:
方阵的多项式:
并且
(m,k为正整数)
方阵的行列式:三种基本计算方法
满足:
解
转置矩阵:
一些特殊的矩阵:
把矩阵的行换成同序数的列得到的
新矩阵,叫做的转置矩阵,记作.
满足:
对称矩阵和反对称矩阵:
伴随矩阵:
若
若
若
3. 逆矩阵
定义:
A为n阶方阵,若存在n阶方阵,使得
则称矩阵A是可逆的(非奇异的、非退化的、满秩的)
矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。
唯一性: 若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的.
判定定理:
n阶方阵A可逆
且
推论:
设A、B为同阶方阵,若
则A、B都可逆,且
满足规律:
逆矩阵求法:
(1)伴随矩阵法
(2)推论法
(3)初等变换法
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似.
4. 分块矩阵
5. 初等变换
对换变换、倍乘变换、倍加变换
三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一类型的
初等变换.
矩阵的等价:
如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,
就称矩阵A与矩阵B等价。记作
初等矩阵: 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵
称为初等矩阵.
与矩阵的相似、合同相互比较
定理:
左乘变行,右乘变列
解矩阵方程的初等变换法(A、B可逆)
矩阵方程
解