文档介绍：抽样调查-第2章简单随机抽样
总体指标值上面带符号“
”的表示由样本得
到的总体指标的估计。如
称为
的估计。
估计量的方差用V表示,如
标准差用S表示,如
对
的样本估计不用
而用
称
为抽样比,记为f.
§-第2章简单随机抽样
总体指标值上面带符号“
”的表示由样本得
到的总体指标的估计。如
称为
的估计。
估计量的方差用V表示,如
标准差用S表示,如
对
的样本估计不用
而用
称
为抽样比,记为f.
§
无论调查对象是何种总体参数,其实所有估计
量通常都是样本均值的某种线性组合,因此在抽样
中不管讨论何种估计的基本性质,都只围绕样本均
值进行。而对样本均值这个核心估计量的研究则分
为两个方面:
一方面是求样本均值对所有可能样本的数学期望
(检验估计量是否无偏)。
另一方面是求样本均值对所有可能样本的方差
(检验估计量误差的大小)。
为了讨论简单估计的性质,首先我们来看两个引理:
引理一从大小为N的总体中抽取一个样本量
为n的简单随机样本,则总体中每个特定单元的入样概率为:
两个特定单元都入样的概率为:
引理一的证明:在N个单元中取n个单元为样本,
共有个样本。在个样本中,包含某
个特定单元的样本数为:每个样本被
抽中的概率为:。
同时包含两个特定单元的样本数为
每个样本被抽中的概率为:
引理二从总体规模为N的总体中抽取一个样本量为n的简单随机样本。若对总体中的每个单元,引进随机变量如下:
由二项分布可知:
所以,不难推出:
简单估计量的性质
是
性质1
的无偏估计,即
下面我们用两种与数理统计中不同的方法
来证明这一性质。思考:为什么不能用数理
统计中常用的方法?
有了这些准备,我们很容易证明
根据前面提到的关于的定义,有下式
第二种方法证明
证明:对于一个大小为N的总体,样本量为n的
简单随机样本有
个,因此
其他几个估计量的无偏性可容易推出:
1、对于总体总量
2、对于总体比例
性质2
对于简单随机抽样,
的方差为:
式中,n为样本量;f=
为抽样比;1-f为
有限总体校正系数。
V(
)=
()
证明方法一
即
证明方法二:由定义
而
因此有
即
性质3V(
)的无偏估计为:
式中,
为样本方差。
证明:将改写成:
由前面性质1证明用过的对称论证法有:
由性质2有:
下面我们从关系式
可以推出其他几个估计量的方差
总体总量的估计量方差是总体均值方差的直接
推导,下面我们来推导总体比例估计量的方差。
设N个样本单元中有N1个具有某一特性,即有N1个单元取值为1,有N-N1个单元取值为0.
同理对样本方差有
因此
同样下面我们从关系式
可以推出
估计量的方差
是衡量估计量精度的度量。
从式
可以看出,影响估计量方差的因素有:
①样本量n;
③总体未入样比率1-f
②总体方差
分析见教材P38,39
N通常很大,当f<,可将1-f近似取为1,这时影响估计量方差的主要因素是样本量n和总体方差。的大小是我们无法改变的,因此,要提高估计量的精度就只有加大样本量。
注意
【】我们从某个N=100的总体中抽出一个
大小为n=10的简单随机样本,要估计总体平均水
平并给出置信度95%的置信区间。
序号i
**********
45204661508
解:依题意,N=100,n=10,f=
样本均值为:
样本方差为:
因此,总体平均值的估计为:
的方差为:
的方标准差为:
s
的置信度95%的置信区间为:
即[,].
,
。其方差为:
V(
放回简单随机抽样简单估计量
注意:不放回时的方差为放回时的约1-f倍,而
1-f<1,因此不放回抽样的估计精度比放回抽样的
估计精度高。
【】我们从某个N=100的总体中抽出一个大
小为n=10的简单随机样本,要估计总体总量并给
出在置信度95%的条件下,估计量的相对误差。
序号i
**********
45204661508
解依题意,N=100,:
,因此,对总体总量的估计为:
=100×5=500。
对V(
)的样本估计为:
0
其标准差为:
因此,在置信度95%的条件下(对应的
t=),
的相对误差为:
=%
【】
解:已知n=200,a=130,1-f≈1
某超市开张一段时间之后,为改进销售服务环境,欲调查附近几个小区居民到该超市购物的满意度。该超市与附近几个小区居委会取得联系,在整体中按简单随机机样,