文档介绍：§ 立体几何中的向量方法 (三)
—— 利用向量方法求距离
知识点一求两点间的距离
已知矩形 ABCD中,AB=4,AD=3,
沿对角线 AC折叠,使面 ABC与面ADC垂直,求 BD间的距离.
解方法一
过D和B分别作DE
§ 立体几何中的向量方法 (三)
—— 利用向量方法求距离
知识点一求两点间的距离
已知矩形 ABCD中,AB=4,AD=3,
沿对角线 AC折叠,使面 ABC与面ADC垂直,求 BD间的距离.
解方法一
过D和B分别作DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,
则由已知条件可知AC=5,
3×4 12 3×4 12
∴DE= 5 =5,BF= 5 =5.
2
AD 9
∵AE=AC=5=CF,
7
EF=5-2×5=5,
uuur
→
uuur
→
∴DB=DE+
EF+FB.
uuur
2
→
→→2
→2
uuur
2
→2
→
uuur
→→
uuur
→
|DB
|=(DE
+BE+FB)
=DE+EF
+FB
+2DE·EF
+2DE·FB+2EF
·FB.
1
∵面ADC⊥面ABC,而DE⊥AC,
∴DE⊥面ABC,
→
→
∴DE⊥BF,DE⊥FB,
uuur
2
→2
→2
→2
144
49144
337
|DB
|=DE+B1E
+FB=25+25+25=25,
uuur
337
∴|DB|=.
5
故B、D间距离是
337
5
.
方法二
EP,以E为坐标原点,以EP,EC,ED所在直线分别为 x、
y、z轴建立空间直角坐标系如图.
12
则由方法一知
DE=FB=5,
7
0,0,
12
12
7
EF=5,∴D
5
,B5
,,0
,
5
uuur
12
7
12
∴BD=
5,5,-5
,
uuur
122
72
12
2
337
|BD|=
5
+
5+
-
=5
.
5
【反思感悟】求两点间的距离或某线段的长度的方法:
把此线段用向量表示,然后用|a|2=a·a通过向量运算去求|a|.(2)建立
空间坐标系,利用空间两点间的距离公式 d= ?x1-x2?2+?y1-y2?2+?z1-z2?2求
解.
如图所示,正方形 ABCD,ABEF的边
长都是1,而且平面ABCD⊥平面ABEF,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=a(0<a<2).
求MN的长;
当a为何值时,(1)
建立如图所示的空间直角坐标系,则
A(1,0,0)
,F(1,1,0)
,C(0,0,1)
∵CM=BN=a(0<a<
2),
且四边形ABCD、ABEF为正方形,
2
2
2
a,
2
∴M(a,0,1
-a),N(
a,0),
2
2
2
2
→
2
2
→
2
2a+1.
∴|MN=(0,
a,
a-1),∴|MN|
=a-
2
2
2
2
1
(2)由(1)知MN=
?a-2?+2,
2
2
所以,当a=2
时,MN=2.
2
即M、N分别移到AC、BF的中点时,MN的长最小,最小值为
2.
知识点二
求异面直线间的距离
如图所示,在三棱柱 ABC—A1B1C1中,
AB⊥侧面BB1C1C,E为棱CC1上异于C、C1的一点,EA⊥EB1,已知AB= 2,BB1=2,BC=1,
π
∠BCC1=3,求异面直线 AB与EB1的距离.
→ →
,BA、BA所在直线分别为 y、z轴,如图建立空间直角坐标系.
由于BC=1,BB1=2,
π
AB= 2,∠BCC1=3,
在三棱柱ABC—ABC中有B(0,0,0)
,A(0,0,
2),B(0,2,0)
,
1
1
1
1
设E(
3
uuuruuur
,a,0),由EA⊥EB1,得
EA·EB1=0,
2
即
3
·
3
=0,
-2
,-a,2
-2,2-a,0
1
3
1
3
得a-2a-2=0,即a=2或a=2(舍去),
1
故E2,2,0.
设n为异面直线AB与EB1公垂线的方向向量,由题意可设n=(x,y,0),
uuur
则有n·EB1=0.
易得n=(
3,1,0)
,
uuur
BEn
∴两异面直线的距离
d=
n
1
·?3,1,0?
3,,0
2
2
=1.
=
3+1
【反思感悟】求异面直线的距离,一般不要求作公垂线,若公垂