文档介绍：1
导数知识要点
导数
导数的概念
导数的运算
导数的应用
导数的几何意义、物理意义
函数的单调性
函数的极值
函数的最值
常见函数的导数
导数的运算法那么
〔导函数的简称〕的定义:设是函数定义域的一点,如果
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导数知识要点
导数
导数的概念
导数的运算
导数的应用
导数的几何意义、物理意义
函数的单调性
函数的极值
函数的最值
常见函数的导数
导数的运算法那么
〔导函数的简称〕的定义:设是函数定义域的一点,如果自变量在处有增量,那么函数值也引起相应的增量;比值称为函数在点到之间的平均变化率;如果极限存在,那么称函数在点处可导,并把这个极限叫做在处的导数,记作或,即=.
注:①是增量,我们也称为“改变量〞,因为可正,可负,但不为零.
②函数定义域为,的定义域为,那么与关系为.
:
⑴函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.
可以证明,如果在点处可导,那么点处连续.
事实上,令,那么相当于.
2
于是
⑵如果点处连续,那么在点处可导,是不成立的.
例:在点处连续,但在点处不可导,因为,当>0时,;当<0时,,故不存在.
注:①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
:
函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率,也就是说,曲线在点P处的切线的斜率是,切线方程为
4、几种常见的函数导数:
〔为常数〕〔〕
:
〔为常数〕
注:①必须是可导函数.
②假设两个函数可导,那么它们和、差、积、商必可导;假设两个函数均不可导,那么它们的和、差、积、商不一定不可导.
例如:设,,那么在处均不可导,但它们和在处均可导.
3
:或
复合函数的求导法那么可推广到多个中间变量的情形.
:
⑴函数单调性的判定方法:设函数在某个区间内可导,如果>0,那么为增函数;如果<0,那么为减函数.
⑵常数的判定方法;
如果函数在区间内恒有=0,那么为常数.
注:①是f〔x〕递增的充分条件,但不是必要条件,如在上并不是都有,有一个点例外即x=0时f〔x〕=0,同样是f〔x〕递减的充分非必要条件.
②一般地,如果f〔x〕在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正〔或负〕,那么f〔x〕在该区间上仍旧是单调增加〔或单调减少〕的.
:〔极值是在附近所有的点,都有<,那么是函数的极大值,极小值同理〕
当函数在点处连续时,
①如果在附近的左侧>0,右侧<0,那么是极大值;
②如果在附近的左侧<0,右侧>0,那么是极小值.
也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号,而不是=0①.此外,函数不可导的点也可能是函数的极值点②.当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比极小值小〔函数在某一点附近的点不同〕.
注①:假设点是可导函数的极值点,那么=,其一点是极值点的必要条件是假设函数在该点可导,那么导数值为零.
例如:函数,使=0,但不是极值点.
②例如:函数,在点处不可导,但点是函数的极小值点.
:极值