文档介绍：1. (2005年青岛市)在△ABC中,AC=BC=2,∠C=90º,将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处,将三角板绕点P旋转,三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点。图①,②,③是旋转三角板得到的图形中的3种情况。研究:
(1)三角板绕点P旋转,观察线段PD和PE之间有什么数量关系?并结合图②加以证明。
(2)三角板绕点P旋转,△PBE是否能成为等腰三角形?若能,指出所有情况(即写出△PBE为等腰三角形时CE的长) ;若不能,请说明理由。
(3)若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处,且AM:MB=1:3,和前面一样操作,试问线段MD和ME之间有什么数量关系?并结合图④加以证明。
答案:
解:(1)连结PC
……5分
(2)共有四种情况,学生每写出一种得1分,共4分
①当点C与点E重合,即CE=0时,PE=PB
③当CE=1时,此时PE=BE
……9分
(3)MD:ME=1:3
A
2、一位同学拿来了两块45°三角尺ΔACB做了一个探究活动:将ΔMNK直角顶点M放在ΔABC的斜边AB的中点处,设AC = BC = a。
A
B
B
B
C
C
C
M
M
M
N
N
N
K
K
K
图1
图2
图3
(1)如图1,两三角尺的重叠部分为ΔACM,则重叠部分的面积为,周长为。
(2)将图1中的ΔMNK绕顶点逆时针旋转45°,如图2,此时重叠部分的面积为,周长为。
(3)如果将ΔMNK绕M旋转到不同于图1、图2的图形,如图3,猜想此时重叠部分的面积有何变化?证明你发现的结论。
3、如图1,将两个等腰直角三角板叠放在一起,使上面三角板的一个锐角顶点与下面三角板的直角顶点重合,并将上面的三角板绕着这个顶点逆时针旋转。在旋转过程中,下面三角板的斜边被分成三条线段,我们来研究这三条线段之间的数量关系。实验与振作:
如图2,如果上面三角板的一条直角边旋转到CM的位置时,的位置,请在网格中分别画出以AM、MN和NB为边长的正方形,并涂上阴影。观察这三个正方形的面积之间的关系。
猜想与探究
如图3,直角ΔABC中,AC=BC,∠ACB=90°。M、N是AB边上的点,∠MCN=45°。作DA⊥AB于A,截取DA=NB,并连接DC、DM。相等。
∵∠CAB=∠CBA=45°,且∵DA⊥AB于A,∴∠DAC=45°。∴∠DAC=∠CBA。又∴DA=NB,AB=AC,∴ΔCAD≌ΔCNB。∴。
请你继续解答:
线段MD与线段MN相等吗?为什么?
线段AM、NM与NB有怎样的数量关系?为什么?
拓广与应用
A
M
B
C
A
M
N
B
D
图1
图2
图3
图4
C
A
M
B
N
如图4,已知线段AB上任意一点M(AM<MB),是否总能在线段MB上找到一点N,使得分别以AM和BN为边长的正方形的面积的和等于以MN为边长的正方形的面积。若能,请在图4中画出N点的位置,并简要说明作法;若不能,请说明理由。
4.(2006年内蒙古鄂尔多斯)如图14(),两个不全等的等腰直角三角形和叠放在一起,并且有公共的直角顶点.
(1)将图14()中的绕点顺时针旋转角,在图14()中作出旋转后的(保留作图痕迹,不写作法,不证明).
(2)在图14()中,你发现线段,的数量关系是,直线,相交成度角.
(3)将图14()中的绕点顺时针旋转一个锐角,得到图14(),这时(2)中的两个结论是否成立?,结论仍然成立吗?作出判断,不必说明理由.
C
D
B
A
O
C
O
D
D
C
O
B
A
图14()
图14()
图14()
解:(1)如图3()(字母位置互换扣1分,无弧扣1分,不连结扣1分,扣完为止) 2分
(2);(每空1分) 4分
C
O
D
图3()
D
C
O
B
A
图3()
F
B
A
E
(3)()
即:(或由旋转得) 5分
6分
7分
延长交于,交于(下面的证法较多)
, 8分
9分
旋转更大角时,结论仍然成立. 10分
5、如下面两个图,四边形ABCD是正方形,(1)在图1中,直角三角尺AMN的直角顶固定在A处,在旋转过程中一条直角边和CB的延长线交于一点P,另一条直角边CD交于Q点。请你通过测量PB和DQ的长度,猜想PB和DQ满足的数量关系和怎样的变换关系,并证明你的猜想。
A
CM
D
B
QM
OM
N
R