文档介绍：泛函分析讲义
第二讲:距离空间中的点集
关键词:领域、内点、开集、聚点、导集、闭集、闭包;
稠密子集、可分的
主要内容:介绍距离空间中的开集、闭集定义及其性质;
介绍可分空间的定义
开集与闭集
本节将直线上有关点集的基本概念推广到距离空间中去。
定义1. 设,,以为中心,以为半径的开球称为的一个球形邻域,简称为邻域。
设若存在的一个邻域则称是G的一个内点。若G中每一个点都是它的内点,则称G为开集。
。
证明:设为开球。任取, 即,令), , 即,则
∴即为开集.
定理1 设为距离空间, 则
(1) 空集全空间是开集.
(2) 任意多个开集之并是开集.
(3) 有限个开集之交是开集.
证明:设是一族开集,证明为开集。
对,,使,由是开集,则存在的一个邻域,从而.
∴是的一个内点,从而为开集。
(3). 设是开集,,证明是开集。
对,则,由是开集,则存在的一个邻域,令,则从而,. 从而,所以为开集。
定义2 设,,,若的任何邻域满足,则称是的一个聚点。其等价条件为:(2)的任何邻域都含有的无穷多个点;(3) ,,但.
证明:(1)(2):若存在x的一个邻域里面只含有的有限个点不妨认为它们都异于取}。。
(2)(1):显然。
(1)(3):设是的聚点,取,则的邻域中必含有的点,所以,令,则有.
(3)(1):设为的一个邻域,由,,知存在,当时,,即因此是的一个聚点。
设={|为的聚点},若,则称为闭集。
闭,则。
证明:,设,. 要证明。若存在某,则自然有。否则不妨认为,则,又,则。
,证明:。,在中存在,。由已知,得。
令为的闭包。
,,
定义3 设,,若,使或,则称是的一个孤立点。
定理2 设,,则下列两条等价:
(1). 是闭集;(2). 是开集。
证明::由是闭集,则,则。任取,则不是的聚点。则存在的一个邻域,则,所以是的一个内点。所以是开集。
:已知是开集,要证,即,对,由是开集,存在的一个邻域,即中不含中的点,所以,即,所以是闭集。
定理3 中,是闭集.
定理4 给定,则
(1) 空集和全空间是闭集;
(2) 有限多个闭集之并是闭集;
(3) 任意多个闭集之交是闭集。
证明:利用定理2,以及德摩根公式,如果是闭集,是开集。由开集性质,是开集,∴是闭集。
定理5 设,则和都是闭集。
证明:先证是闭集。。任取,对,。设,取
>0。可知,事实上,对,即,则有
且(或)。
又,故,设,则.