极限计算方法总结.pdf

文档介绍：极限计算方法总结
一、极限定义、运算法则和一些结果
:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述)。
说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的
b
极限严格定义证极限计算方法总结
一、极限定义、运算法则和一些结果
:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述)。
说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的
b
极限严格定义证明,例如:lim0(a,b为常数且a0);
0,n当an|q|1时
lim(3x1)5;limqn;等等
x2n不存在,当|q|1时
(2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需
再用极限严格定义证明。

定理1已知limf(x),limg(x)都存在,极限值分别为A,B,则下面极限都存在,
且有(1)lim[f(x)g(x)]AB
(2)limf(x)g(x)AB
f(x)A
(3)lim,(此时需B0成立)
g(x)B
说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,
不能用。

sinx
(1)lim1
x0x
11
lim(1)xe
(2)lim(1x)xe;x
x0x
说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式,
作者简介:一靳东,男,(1964—),副教授。
sin3x13x
2xlim(1)3e
例如:lim1,lim(12x)e,x;等等。
x03xx0x

定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。
定理3当x0时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有:
x
~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1x)~ex1。
说明:当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时(g(x)0),仍有上面的等价
e3x13xx2
关系成立,例如:当x0时,~;ln(1x2)~。
1定理4如果函数f(x),g(x),f(x),g(x)都是xx时的无穷小,且f(x)~
110
f(x)f(x)
f(x),g(x)~g(x),则当lim1存在时,lim也存在且等于
11xxg(x)xxg(x)
010
f(x)f(x)f(x)
f(x)lim1,即lim=lim1。
xxg(x)xxg(x)xxg(x)
01001

定理5假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时,函数f(x)和g(x)满足:
(1)f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大;
(2)f(x)和g(x)都可导,且g(x)的导数不为0;
f(x)
()lim存在