文档介绍：第六章微分方程模型
传染病模型
减肥模型
微分方程是研究函数变化规律的有力工具,在科技、工程、经济管理、生态、环境、人口、交通等许多领域中有着广泛的应用。因此微分方程模型是数学建模的重要方法,当我们描述实际对象的某些特性随时间(或空间)的变化而变化的过程,分析它的变化规律,预测它的未来状态时,通常要建立对象的动态模型。
微分方程建模一般遵循如下的步骤:
1、从实际问题中寻找关于导数描述的标志性词语,如速度、增长、衰变、边际及某些对象变化率的问题,一旦有了这些标志之后我们就可以考虑该问题也许可以通过微分方程模型来解决。
2、从问题中找到我们所研究对象的变化规律,不管是物理的,化学的,生物学的问题,还是经济学的,几何的问题,不少问题都遵循如下的基本规律:
3、根据基本规律写出微分方程,由于微分方程是一个在任何时刻都必须正确的表达式,因此我们必须确认算式中每一项都是正确的。一旦确定了哪些项该出现在微分方程中,那么这些项的表达式应该是准确无误的,而且这些项所对应的单位应该是一致的。
净变化=输入—输出
这是我们写出对象变化规律的微分方程的关键所在。
4、根据所讨论的问题确定该微分方程所对应的初始条件,这是所考虑问题在某一特定时刻或某一特定位置的信息,这是确定微分方程的关键。
5、对所给出的微分方程及其初始条件进行求解,给出研究对象所满足的方程,即所研究对象随时间(或空间)的变化规律,进而可以预测其未来的状态。
动态模型
描述对象特征随时间(空间)的演变过程
分析对象特征的变化规律
预报对象特征的未来性态
研究控制对象特征的手段
根据函数及其变化率之间的关系确定函数
微分方程建模
根据建模目的和问题分析作出简化假设
按照内在规律或用类比法建立微分方程
传染病模型
不是从医学角度分析各种传染病的特殊机理,而是按照传播过程的一般规律建立数学模型.
基本方法
实验目的
描述传染病的传播过程
传染病的极大危害(艾滋病、SARS、)
分析受感染人数的变化规律
预报传染病高潮到来的时刻
预防传染病蔓延的手段
了解微分方程建模的思路和过程
学****使用MATLAB软件对微分方程进行求解
已感染人数(病人) i(t)
每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为
假设
若有效接触的是病人,则不能使病人数增加
必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
建模
?
实验内容
模型1
模型2
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
假设
1)总人数N不变,病人和健康人的比例分别为
2)每个病人每天有效接触人数为, 且使接触的健康人致病
建模
~ 日
接触率
SI 模型
模型2
1/2
tm
i
i0
1
0
t
tm~传染病高潮到来时刻
(日接触率) tm
Logistic 模型
病人可以治愈!
?
t=tm, di/dt 最大