文档介绍：空间几何向量法之点到平面的距
要求一个点到平面的距离,可以分为三个步骤:
(1) 找出从该点出发的平面的任意一条斜线段对应的向量;
(2) 求出该平面的法向量;
(3) 求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值,再除以法向量的模空间几何向量法之点到平面的距
要求一个点到平面的距离,可以分为三个步骤:
(1) 找出从该点出发的平面的任意一条斜线段对应的向量;
(2) 求出该平面的法向量;
(3) 求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值,再除以法向量的模,这就是该店到平面的距离。
AB•n .
例子:点A到面a的距离d二一—(注:AB为点A的斜向量,n是a面的法向量,
n
点B是面a内任意一点。)
求立体几何体积(向量法)体积公式:
1、柱体体积公式:V=
2、椎体体积公式:V=
4
3、球体体积公式:V=-兀R3
课后练****题
例题:在三棱锥B—ACD中,平面ABD丄平面ACD,若棱长AC二CD二AD二AB=1,且ZBAD=300,求点D到平面ABC的距离。
要求平面a外一点P到平面a的距离,可以在平面a内任取一点A,则点P到平面a的距离即为d=
|PA|•
IPA•nI
InI
IPAI・InI
建立如图空间直角坐标系,则a(-2,0,°),B(于®),C(0,亍°),D(2°°)
• L ■ — ■ !—
・・・AC=(壬宀,0),AB=(二,0,1),DC=(-壬宀,0)
222222
f n•AB=比x+1z=0
设n=(x,y,z)为平面a的一个法向量,则-- 2 2
n•AC=十x+必y=0J 2 2
・•・y=一寸X,Z=",可取n=(一巨⑶
d
代入
IDC•nI
InI得,
d=吉=卡,即点D到平面ABC的距离是卡。
1-已知A(2,3,l)、B(4,l,2)、
C(6,3,7)、D(-5,-4,8)是空间不共面的四点,求点D到平面
ABC的距离.
解:设n=(x,y,z)是平面ABC的一个法向量,则由nAB=0及nBC=0,得
—2x-2y+z=0
2x+2y+5z=0
DA・n
d=
49_49佰帀=_\7~
2
y=x
3 -
2,取x=3,得n=(3,2,-2),于是点D到平面ABC的距离为
z=一一x
3
,E、F分别是AB和AD的中点,GC丄平面
ABCD,且GC=2,求点B到平面EFG的距离.
解:建立如图2所示的空间直角坐标系C-xyz,则
G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0),F(4,2,0),AGE=(2,4,-2),
GF=(4,2,-2),BE=(2,0,0).
设平面EFG的一个法向量为n=(x,y,z),则由
n・GE=0及n・GF=0,得<
2x+4y-2z=0
4x+2y-2z=0
BE・n
x=y -
c,取y=l,得n=(1,1,3),于是点B到平面EFG的距离为d= ; —
〔z=3y n J11 11
3•在棱长为1的正方体ABCD-AiBiCiDi中,求点Ci到平面AiBD的距离。
设平面AiBD的一个法向量为n-(兀y,z),则由n・DA广0及n・DB=0,得
z