维纳-辛钦定理证明.doc

文档介绍：按定义:
(1)
其中
(2)
将代入:
(3)
式中
(4)
对所有有
(5)
将代入:
(6)
这样一来,维纳-辛钦定理不需要额外的条件:只要式右侧的积分有意义,它就是功率谱,否则功率谱不存在。或者说,条件就是功率谱密度、自相关函数有意义。
更进一步,还可以使条件更弱:可以去掉“平稳”。将换成之后继续上述证明过程,最后可以得到
(6)
实际上,上述对功率谱密度的定义适用于任意随机过程(定义本身不要求必须是平稳过程),对上面的式改变时间平均和傅氏变换的次序,就是时变功率谱的时间平均。