文档介绍：高三数学专题复****应用题
【考点概述】
数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一,也是考生失分较多的一种题型。解答这类问题的要害是深刻理解题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建立恰当的数学模型,这当中,函数,数列,三角是较为常见的模型,而立几,不等式,解几等模型也应在复****时引起重视。
高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型,另外,估测计算型和信息迁移型也时有出现。当然,数学高考应用性问题关注当前国内外的政治,经济,文化,紧扣时代的主旋律,凸显了学科综合的特色。
【求解应用题的一般步骤】
1、审清题意:
认真分析题目所给的有关材料,弄清题意,理顺问题中的条件和结论,找到关键量,进而明确其中的数量关系(等量或大小关系)
2、建立文字数量关系式:
把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键量之间的数量关系,这是问题解决的一把钥匙。
3、转化为数学模型:
将文字语言所表达的数量关系转化为数学语言,建立相应的数学模型(一般要列出函数式、三角式、不等式、数列、排列组合式、概率以及利用几何图形等进行分析),转化为一个数学问题。
4、解决数学问题:
利用所学数学知识解决转化后的数学问题,得到相应的数学结论。
5、返本还原:
把所得到的关于应用问题的数学结论,还原为实际问题本身所具有的意义。
【常见类型】
类型一:函数应用题
以分式函数为载体的函数应用题
例1. 工厂生产某种产品,次品率p与日产量x(万件)间的关系为:(c为常数, 且0<c<6). 已知每生产1件合格产品盈利3元,.
(1)将日盈利额y(万元)表示为日产量x(万件)的函数;
(2)为使日盈利额最大,日产量应为多少万件?(注:次品率=×100%)
解(1)若,则,
若,则,
(2)当,则
若,则,函数在上为增函数,
若,在上为增函数,在上为减函数,∴当时,.
综上,若,则当日产量为c万件时,日盈利额最大;若,则当日产量为3万件时,日盈利额最大.
例2. 在等边中,=6cm,长为1cm的线段两端点都在边上,且由点向点运动(运动前点与点重合),,点在边或边上;,点在边或边上,设.
(1)若面积为,由围成的平面图形面积为,分别求出函数的表达式;
(2)若四边形为矩形时,求当时, 设,求函数的取值范围.
解:(1)①当时,F在边AC上,,;
当时,F在边BC上, ,
,
②当时,F、G都在边AC上,,
;
当时,F在边AC上,G在边BC上,, ;
当时,F、G都在边BC上,,
.
(2) ①当时,
②当时,
,宽6cm的长方形的纸片沿着一条直线折叠,折痕(线段)将纸片分成两部分,面积分别为S1cm2,S2cm2,其中S1≤.
(1)若l=4,求S1的最大值;
(2)若S1∶S2=1∶2,求l的取值范围.
解如图所示,不妨设纸片为长方形ABCD,AB=8cm,AD=6cm,其中点A在面积为S1的部分内.
折痕有下列三种情形:
①折痕的端点M,N分别在边AB,AD上;
②折痕的端点M,N分别在边AB,CD上;
A
B
C
D
(情形②)
M
N
A
B
C
D
(情形③)
M
N
A
B
C
D
(情形①)
M
N
③折痕的端点M,N分别在边AD,BC上.
(1)在情形②、③中MN≥6,故当l=4时,折痕必定是情形①.
设AM=x cm,AN=y cm,则x2+y2=16.
因为x2+y2≥2xy,当且仅当x=y时取等号,
所以S1=xy≤4,当且仅当x=y=2时取等号.
即S1的最大值为4.
(2)由题意知,长方形的面积为S=6×8=48.
因为S1∶S2=1∶2,S1≤S2,所以S1=16,S2=32.
当折痕是情形①时,设AM=x cm,AN=y cm,则xy=16,即y=.
由得≤x≤8.
所以l==,≤x≤8.
设f (x)=x2+,x>0,则f ′(x)=2x-=,x>
x
(,4)
4
(4,8)
8
f ′(x)
-
0
+
f (x)
64
↘
64
↗
80
所以f (x)的取值范围为[64,80],从而l的范围是[8,4];
当折痕是情形②时,设AM=x cm,DN=y cm,则(x+y)×6=16,即y=-x.
由得0≤x≤.
所以l==,0≤x≤.
所以l的范围为[6,];
当折痕是情形③时,设BN=x cm,AM=y cm,则(x+y)×8=16,即y=4-x.
由得0≤x≤4.