文档介绍：第一章实数集与函数
1实数
讲课章节:第一章实数集与函数——§1实数教课目标:使学生掌握实数的基天性质.
教课要点:
理解并娴熟运用实数的有序性、浓密性和关闭性;
切记并娴熟运用实数绝对值的有关性质以及几个常有的不等式.(它们是剖
第一章实数集与函数
1实数
讲课章节:第一章实数集与函数——§1实数教课目标:使学生掌握实数的基天性质.
教课要点:
理解并娴熟运用实数的有序性、浓密性和关闭性;
切记并娴熟运用实数绝对值的有关性质以及几个常有的不等式.(它们是剖析论证的重要工具)
教课难点::讲解.(部分内容自学)教课程序:
前言
上节课中,我们与大家共同商讨了《数学剖析》这门课程的研究对象、,,从大家都较为熟****的实数和函数开始.
[问题]为何从“实数”开始.
答:《数学剖析》研究的基本对象是函数,但这里的“函数”是定义在“实数集”上的(后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数).为此,我们要先认识一下实数的有关性质.
一、实数及其性质
1、实数
有理数:任何有理数都能够用分数形式
q
0)表示,
(p,q为整数且q
p
也能够用有限十进小数或无穷十进小数来表示.
无理数:用无穷十进不循环小数表示.
x|x为实数--全体实数的会合.
[问题]有理数与无理数的表示不一致,,我们把“有限小数”(包含整数)也表示为“无穷小数”.为此作以下规定:
对于
正
有限小数
,
此中
0ai
9,i
1,2,L,n,an
0,a0为非负整数,记
x
an1
(an
1)9999L
;
对于正整数xa0,则记x(a01).9999L;对于负有限小数(包含负
整数)y,则先将y表示为无穷小数,此刻所得的小数以前加负
0=
例:
;
3
L;
;
3
利用上述规定,,怎样比较实数的大小?
2、两实数大小的比较
1)定义1给定两个非负实数
x
,y
.
此中
a0,b0为非负整数,ak,bk(k
1,2,L)为整数,0
ak
9,0
bk
akbk,k
0,1,2,L
,则称x与y相等,记为xy;若a0
b0或存在非负
整数l,使得a
b
k
,k0,1,2,L,l
a
b
,则称
x
大于y或y小于
x
,
k
,而l1
l1
分别记为xy或y
、y,若按上述规定分别有
x
y
或x
y,则分别称为x
y与x
y(或y
x).
规定:任何非负实数大于任何负实数.
2)
实数比较大小的等价条件(经过有限小数来比较).
定义2(不足近似与剩余近似):x
anL
为非负实数,称有
理数xn
;xn
xn
1n
称为实数x的n
10
位剩余近似,n
0,1,2,L.
对于负实数
x
anL
,其
n
位不足近似xn
an
1
n
n
10
;
位剩余近似xn
.
注:实数x的不足近似x
n
增大时不减,即有
x
xx
2
L
;过
n当
0
1
剩近似xn当n增大时不增,即有x0
x1
x2
L.
命题:记x
,y
bnL
为两个实数,则x
y的等
价条件是:存在非负整数n,使xn
yn(此中xn为x的n位不足近似,
yn为y的n位剩余近似).
命题应用
,y为实数,xy,证明存在有理数r,知足x
r
y.
证明:由x
y,知:存在非负整数n,使得xn
1
xn
yn,
2
则r为有理数,且
xxn
.
3、实数常用性质(详见附录Ⅱ.P289P302).
1)关闭性(实数集R对,,,)
个实数的和、差、积、商(除数不为0)还是实数.
2)有序性:a,bR,关系ab,ab,ab,三者必