文档介绍：勾股定理的逆定理
文峰中学数学宋宏训
知识精点
:若一个三角形的三条边满足关系式,则这个三角形是直角三角形.
:判断一个三角形是不是直角三角形.
.
重、难、疑点
重点:掌握用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形,或两条直线是否垂直.
难点:用勾股定理及其逆定理解决一些实际问题.
疑点:如何将实际问题转化为直角三角形的判定问题.
典例精讲
例1 试判断:三边长分别为的三角形是不是直角三角形?
方法指导:先确定最大边,再用勾股定理的逆定理判断.
解:∵,
,
∴为三角形的最大边.
又∵,
,
∴.
由勾股定理的逆定理可知,此三角形为直角三角形.
方法总结:判定一个三角形是否是直角三角形,先确定最大边,,反之不是.
举一反三试判断:三边长分别为的三角形是不是直角三角形?
解:∵m>n>0,
∴.
∴为三角形的最大边,
又∵,
,
∴.
由勾股定理的逆定理可知,此三角形为直角三角形.
例2 如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,F为CD上一点,:△AEF是直角三角形.
方法指导:要证△AEF是直角三角形,由勾股定理的逆定理,只要证即可.
解:证明:设正方形ABCD的边长为a,则,,.
在Rt△ABE中,由勾股定理得:
.
同理在Rt△ABE中,由勾股定理得:
.
在Rt△CEF中,由勾股定理得:
.
∴.
∴△AEF是直角三角形.
方法总结:利用代数方法,计算三角形的三边长,看它们是否符合勾股定理的逆定理,以判断三角形是否是直角三角形,这是解决几何问题常用的方法之一.
举一反三如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=BC=4,CD=6,DA=2,求∠DAB的度数.
解:连接AC,
在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=BC=4,
∴∠BAC=45°,.
在△ADC中,,
∴△ADC是直角三角形,∠DAC=90°.
∴∠DAB=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°.
例3 如图,△DEF中,DE=17cm,EF=30cm,EF边上的中线DG=8cm,求△DEF的面积.
方法指导:利用勾股定理的逆定理解题.
解:∵EF=30cm,∴,
∵,,
,
∴.
∴△DGE是直角三角形,即DG⊥EF,
∴.
方法总结:利用勾股定理的逆定理可证两线垂直.
举一反三已知如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=10,CD=6,求四边形ABCD的面积.
解:延长AD、BC交于点E.
在Rt△ABE中,∠B=90°,∠A=60°,AB=10,
∴AE=20.
由勾股定理可得:
,
∴.
在Rt△CDE中,
∠CDE=90°,∠E=30°,CD=6,
∴.
∴.
∴四边形ABCD的面积为:.
例4 已知△ABC的三边长为a,b,c,且满足,试判断△ABC的形状.
方法指导:要判断三角形的形状,应从已知条件入手,分析各边之间的关系,从而得出正确结论.
解:∵,
∴.
∴.
∴或.
当时,有.
由勾股定理的逆定理知,此时三角形是直角三角形;
当时,有