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单摆振动中的等效问题
单摆是由一根不能伸长的细线,系一个视为质点的摆球构成。在摆角(新教材)时,摆球的运动可视为简谐运动。等效方法是通过对问题中的某些因素进行变换或直接利用相似性,移用某一规律进行分析而得到相等效果,利用等效法不仅可以使问题变得简单易解,而且活跃了学生的思维。
在通常情况下,很多物体的运动模型可等效为单摆模型,单摆振动中的等效问题包括模型的等效、摆长的等效、重力加速度的等效及周期的等效。等效单摆的周期公式可以广义地表示为 式中为等效摆长,为等效重力加速度。
等效单摆摆长
所谓摆长意味着悬点到摆球球心间的距离。单摆的运动轨迹点是一小段圆弧,其轨道半径R与等效摆长相等,即=,不管有无“悬点”,只要搞清了圆弧轨道的半径R,单摆的周期即可用计算。
同学们对下图中各摆等效摆长一看便知(若等效摆长不易一眼看出,则应从数学角度计算).
图1 图2 图3
,如图4所示,每根细绳跟竖直方向的夹角均为30°,当该小球向纸内外做微小摆动时,其摆动周期为___________。
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图4 图5
简析:本题是一个双线摆问题,解决其周期,首先得确定其等效摆长,连接AB,然后过摆球C作竖直线交直线AB于O点,则OC为该摆的等效摆长,如图5所示,L”,故周期:
,光滑圆弧槽半径为R,A为最低点,C到A距离远小于R,两质点B和C都由静止开始释放,问哪一个小球先到A点?
简析:B球到A点时间用自由落体运动规律求解,其时间:
C球在光滑圆弧槽内往复运动可看作等效单摆运动,半径R为等效摆长。第一次到达A点用单摆周期公式:
显然,,即B球先到.
讨论:要使两球在A点相遇,可使B球上移,问此时B球高度h为多少?
分析:B球下落时间为:
又C点运动具有重复性,两球相遇时间必有多解,相应的h值亦应有多解:
,
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解得:
等效重力加速度
等效重力加速度的大小等于摆球的视重(摆球相对悬点静止时线的拉力F)与摆球的质量m之比,即。求的基本步骤如下:
(1)分析摆球的受力,确定摆球相对静止的位置(即平衡位置)。
(2)计算摆球的视重.
(3)利用,求出视重加速度。
应当注意,在计算拉力时,不能将始终沿悬线方向的力(法线方向),才能改变振动周期。如图7几种情况,振动周期不变。
图7
例3。如图8所示的摆球,由于受到横向风力的作用,偏过角。若绳长为l,摆球质量为m,且风力稳定,当摆球在纸平面内平衡位置附近振动时,其周期为()。
A. B. C。 D.
图8 图9
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解析:平衡时摆球受重力mg,风力,线的拉力,受力分析如图9所示。由力的平衡可得,摆球的视重为
等效重力加速度为
所以摆的周期为
故选项B正确。
,用一根细线,长为l,将一个密度的小球拴在盛水容器的底部。若使小球稍偏离平衡位置而振动,求它的周期是在空气中周期的几倍。
图10 图11
解析:设摆球的体积为V,则质量为。摆球在水中平衡时受重力mg、拉力、浮力作用,如图11所示。由力的平衡条件可得
等效重力加速度为
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摆在水中的周期为
摆在空气中的周期为
原始的单摆模型在振动过程中回复力来源于重力的分量,要研究升降机中单摆的周期问题,必须从研究回复力着手,求出其等效重力,再求等效重力加速度,则.
例5。 在升降机中挂着一单摆,摆长为L,当升降机以加速度a匀加速上升的过程中,求单摆的振动周期T。
简析:单摆在摆动过程中,受重力和绳的张力F的作用,当升降机匀加速上升时,单摆一方面绕悬点振动,另一方面沿竖直方向作匀加速直线运动。
根据力的作用效果,将F分为三个力,如图12所示,在竖直方向上,F3与G的合力产生向上的加速度a,切线方向的F1使单摆返回“平衡”位置,产生切向加速度,F2沿摆线方向产生做圆周运动所需的向心加速度。
因为.
又因为F⊥F1,所以:
当很小时,。
故单摆在加速上升的升降机中所受回复力与位移成正比,且方向相反,得。
单摆在升降机中摆动周期为:
显然,我们称之为等效重力加速度,同理,若升降机以加速度a匀加速下降,则:
。
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可见在升降机中加速(或加速)上升(或下降),可以等效为重力加速度发生变化,只要求出等效重力加速度,则单摆的周期问题迎刃而解,现列举另外几种常见情形:
(1)在水平加速运动的车厢内
如图13所示,若将单摆悬挂于水平加速向左运动的车厢内,其平衡位置由O变到了O",等效重力加速度为,则振动周期为。
图13 图14
(2)在斜面上加速运动的车厢内
如图14所示,当小车沿倾角为的光滑斜面自由滑下时,单摆的周期为,比小车静止时要大。
(3)光滑斜面上的单摆
如图15所示,单摆一端系于倾角为的光滑斜面上,产生回复力的是的切向分力,等效重力加速度为,周期为。
图15 图16
(4)复合场中的单摆
若将带电量为q的单摆放入电场强度为E的匀强电场中,如图16所示,则得到最常见的复合场。
若摆球带负电,则:
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若摆球带正电,则:
当时,单摆停摆。
若电场方向改为水平,同理分析可得。
(5)在匀速圆周运动的卫星内
因为摆球受到的万有引力全部充当了和卫星一起环绕行星运动所需要的向心力,所以处于完全失重状态,单摆停摆。
三、等效单摆周期
对悬点下方有固定钉子的单摆及组合单摆来说,还存在等效周期的问题:
图17
例6、一个单摆如图17所示,摆长l=150厘米,悬点O的正下方有一个固定的钉子A,OA=50厘米,设摆角θ很小,试求此摆的周期。
   解析:此单摆的一次全振动中,一半由摆长为l1=150cm的单摆的半个全振动组成,一半由摆长为l2=100cm的单摆的半个全振动组成,因此此组合单摆的周期
    T=。
     T=×(+ 0。3194) =2。23s.
例7、如图10中两单摆的摆长均为L=1m,平衡时,两钢球刚好接触,
现将摆球A在两摆线所在的平面向左拉开一小角度释放,碰撞后两球分开各自做简谐运动,以分别表示两摆球A、B的质量,g取10m/s2,则( )
A。如果,下次碰撞发生在平衡位置的右侧
B. 如果,下次碰撞发生在平衡位置的左侧
=π秒
,下次碰撞都不可能发生在平衡位置的左侧
解析:因两摆摆长相等,故两摆球的周期相等,所以两球同时到达平衡位置,在平衡位置发生第二次碰撞,且每隔T/2即π秒时间,该组合摆完成一次全振动。故答案应选C、D。
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等效单摆模型小结
常见的等效单摆模型很多,,同学们还会遇到其它情况。从近几年高考试题看,命题人的指导思想很明确,那就是力求所命题目的创意新、背景新、,其本质上讲还是万变不离其宗。等效法是科学思维的基本方法之一,要提高解决综合问题的能力,从根本上讲还是提高构建物理模型的能力,要学会透过现象看本质,进而对物理模型进行等效转化.
[巩固检测]
1、如图19,、质量可忽略的等边三角形的顶点A处。它的对边BC与竖直线成不大的α角。摆球可沿固定轴BC摆动,则摆球做微小振动时周期为多大?(答案:T=2 )图19
解析:此装置摆动时,形成摆球A以BC为转轴,以纸面上的OA为平衡位置,在近于垂直纸面的向内、,其等效摆长为l′= /“平衡位置不摆动"时,沿等效摆长AO方向的等效摆线的拉力T=mgsinα,即为等效重力G′=mgsinα,故此摆的周期
T=2 
2、汽车的重量一般支撑在固定于轴承上的若干弹簧上,弹簧的等效劲度系数k=1。5×105N/m,汽车开动时,在振幅较小的情况下,其上下自由振动的频率满足(l为车厢在平衡位置时弹簧的压缩的长度),若人体可以看成一个弹性体,其固有频率约为2Hz,已知汽车的质量为600kg,每个人的质量为70kg,则这辆车乘坐几个人时,人感觉到最难受?(答案:5人)
解析:人体的固有频率f固=2Hz,当汽车的振动频率与其相等时,人体与之发生共振,人感觉最难受。
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