高中数学必修一知识点总结(全).pdf

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第一章集合与函数概念
课时一:集合有关概念
:集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东
西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
,一些元素组成的总体叫集合,简称为集。
:
(1)元素的确定性:集合确定,则一元素是否属于这个集合是确定的:属于或不属于。例:
世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人……
(2)元素的互异性:一个给定集合中的元素是唯一的,不可重复的。
例:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的,并且改变位置不影响集合
例:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
:{…}如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用大写字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:列举法与描述法。
1)列举法:将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……}
2)描述法:将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合。
{xR|x-3>2},{x|x-3>2}
①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
②Venn图:画出一条封闭的曲线,曲线里面表示集合。
4、集合的分类:
(1)有限集:含有有限个元素的集合
(2)无限集:含有无限个元素的集合
(3)空集:不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}
5、元素与集合的关系:
(1)元素在集合里,则元素属于集合,即:aA
(2)元素不在集合里,则元素不属于集合,即:aA
注意:常用数集及其记法:
--:.
--
非负整数集(即自然数集)记作:N
正整数集N*或N+
整数集Z
有理数集Q
实数集R
课时二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
(1)定义:如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含
关系,称集合A是集合B的子集。记作:AB(或BA)
注意:AB有两种可能(1)A是B的一部分,;
(2)A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2.“相等”关系:A=B(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”
即:①任何一个集合是它本身的子集。AA
②真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或
BA)
或若集合AB,存在xB且xA,则称集合A是集合B的真子集。

③如果AB,BC,那么AC
④如果AB同时BA那么A=B
,记为Φ
规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
课时三、集合的运算
--:.
--
运算类型交集并集补集
定义由所有属于A且属于B由所有属于集合A或属全集:一般,若一个集合汉语我们
的元素所组成的集合,叫于集合B的元素所组成所研究问题中这几道的所有元
做A,,叫做A,B的并素,我们就称这个集合为全集,
B(读作‘A交B’),:AB(读作记作:U
即AB={x|xA,‘A并B’),即AB设S是一个集合,A是S的一个
且xB}.={x|xA,或xB}).子集,由S中所有不属于A的元
素组成的集合,叫做S中子集A
的补集(或余集)记作CA,
S
CA={x|xS,且xA}
S
韦恩图示
S
ABAB
A
图1图2
性A∩A=AAUA=AAU(CA)∩(CB)=C
uu
质A∩Φ=ΦΦ=A(AUB)
u
A∩B=BAAUB=BUA(CA)U(CB)=C
uu
A∩BAAAUBA(A∩B)
u
∩BBAUBBAU(CA)=U
u
A∩(CA)=Φ.
u
课时四:函数的有关概念
:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对
于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对
应,那么就称f:A→:y=f(x),x
∈A.
(1)其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;
(2)与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做
函数的值域.
:定义域、值域、对应法则
:(1)解析法:明确函数的定义域
--:.
--
(2)图想像:确定函数图像是否连线,函数的图像可以是
连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。
(3)列表法:选取的自变量要有代表性,可以反应定义域
的特征。
4、函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函
数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x∈A)
(x,y)均满足函数关系y=f(x),反
过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),
均在C上.
(2)画法
A、描点法:B、图象变换法:平移变换;伸缩变换;对称变换。
(3)函数图像变换的特点:
1)函数y=f(x)关于X轴对称y=-f(x)
2)函数y=f(x)关于Y轴对称y=f(-x)
3)函数y=f(x)关于原点对称y=-f(-x)
课时五:函数的解析表达式,及函数定义域的求法
1、函数解析式子的求法
(1)、函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,
一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2)、求函数的解析式的主要方法有:
1)代入法:
2)待定系数法:
3)换元法:
4)拼凑法:
--:.
--
:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5),它的定义域是
使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
3、相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②
定义域一致(两点必须同时具备)
4、区间的概念:
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示
课时六:
:先考虑其定义域
(1)观察法:直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域;
(2)反表示法:针对分式的类型,把Y关于X的函数关系式化成X关于Y的函数
关系式,由X的范围类似求Y的范围。
(3)配方法:针对二次函数的类型,根据二次函数图像的性质来确定函数的值域,
注意定义域的范围。
(4)代换法(换元法):作变量代换,针对根式的题型,转化成二次函数的类型。
--:.
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课时七

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.
补充:复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称
为f、g的复合函数。
(4)常用的分段函数
1)取整函数:
2)符号函数:
3)含绝对值的函数:

一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对
于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那
么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原
象)B(象)”
对于映射f:A→B来说,则应满足:
(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
注意:映射是针对自然界中的所有事物而言的,而函数仅仅是针对数字来说的。
--:.
--
所以函数是映射,而映射不一定的函数
课时八函数的单调性(局部性质)及最值
1、增减函数
(1)设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任
意两个自变量x,x,当x<x时,都有f(x)<f(x),那么就说f(x)
121212
=f(x)的单调增区间.
(2)如果对于区间D上的任意两个自变量的值x,x,当x<x时,都有f(x
1212
)>f(x),那么就说f(x)=f(x)的
12
单调减区间.
注意:函数的单调性是函数的局部性质;函数的单调性还有单调不增,和单调不
减两种
2、图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区
间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数
的图象从左到右是下降的.
3、函数单调区间与单调性的判定方法
(A)定义法:
任取x,x∈D,且x<x;
错误!1212
作差f(x)-f(x);
错误!12
变形(通常是因式分解和配方);
错误!
定号(即判断差f(x)-f(x)的正负);
错误!12
下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
错误!
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切
相关,其规律:“同增异减”
--:.
--
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和
在一起写成其并集.
课时九:函数的奇偶性(整体性质)
(1)、偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)
就叫做偶函数.
(2)、奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),
那么f(x)就叫做奇函数.
(3)、具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
○1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;若是不对称,则是非奇
非偶的函数;若对称,则进行下面判断;
确定f(-x)与f(x)的关系;
错误!
作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶
错误!
函数;
若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.
--:.
--
(4)利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性
1)在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;
奇函数的加减仍为奇函数;
奇数个奇函数的乘除认为奇函数;
偶数个奇函数的乘除为偶函数;
一奇一偶的乘积是奇函数;
2)复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇。
注意:
定义域是否关于原点对称,,
(1)再根据定义判定;
(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;
(3)利用定理,或借助函数的图象判定.
课时十、函数最值及性质的应用
1、函数的最值
利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
错误!
错误!利用图象求函数的最大(小)值
利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
错误!
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)
在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数
--:.
--
y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
2、函数的奇偶性与单调性
奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;
偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。
3、判断含糊单调性时也可以用作商法,过程与作差法类似,区别在于作差法是与0作
比较,作商法是与1作比较。
4、绝对值函数求最值,先分段,再通过各段的单调性,或图像求最值。
5、在判断函数的奇偶性时候,若已知是奇函数可以直接用f(0)=0,但是f(0)=0
并不一定可以判断函数为奇函数。(高一阶段可以利用奇函数f(0)=0)。
--:.
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课时十四
1、指数与指数幂的运算:
复****初中整数指数幂的运算性质:
am*an=am+n
(am)n=amn
(a*b)n=anbn
2、根式的概念:一般地,若xa,那么叫做的次方根,其中>1,且∈*.
nxannnN
当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数。此
时,a的n次方根用符号表示。
当n为偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数。此时正数a的
正的n次方根用符号表示,负的n的次方根用符号表示。正的n
次方根与负的n次方根可以合并成(a>0)。
注意:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00。
n
当是奇数时,a(a0)
nnana,当n是偶数时,nan|a|

a(a0)
式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数。
3、分数指数幂
正数的分数指数幂的
mm11
,(0,,,1)
annam(a0,m,nN*,n1)anamnN*n
mnam
an
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
4、有理数指数米的运算性质
(1)ar·arars(a0,r,sR);
(2)(ar)sars;
(a0,r,sR)
--:.
--
(3)(ab)raras(a0,r,sR).
5、无理数指数幂
一般的,无理数指数幂aa(a>0,a是无理数)是一个确定的实数。有理数指数
幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。
课时十五:指数函数的性质及其特点(1)
1、指数函数的概念:一般地,函数yax(a0,a1)叫做指数函数,其中x是自变量,
且
函数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、?
2、在同以坐标平面内画出下列函数的图像:
(1)(2)(3)(4)(5)
图像特征图像特征
a>1a>10<a<1a>1
向X、Y轴正负方向无限延伸函数的定义域为R
图像关于原点和Y轴不对称非奇非偶函数
函数图像都在X轴的上方函数的值域为R+
函数图象都过定点(0,1)a0=1
自左向右看图像逐渐自左向右看图像逐渐
增函数减函数
上升。上升。
x>0,ax
在第一象限内图像纵在第一象限内图像纵
x>0,ax>1
坐标都大于1。坐标都大于1。<1
在第二象限内图像纵在第二象限内图像纵
x<0,ax<1x<0,ax>1
坐标都小于1。坐标都大于1。
函数值开始增加较慢,函数值开始减小极快,
图像上升的趋势愈来图像上升的趋势愈来
到了某一值后增长速到了某一值后减小速
愈陡。愈陡。
度极快。度较慢。
--:.
--
课时十六:指数函数的性质及其特点(1)
指数函数的图象和性质
a>10<a<1
00
定义域R定义域R
值域y>0值域y>0
在R上单调递增在R上单调递减
非奇非偶函数非奇非偶函数
函数图象都过定点(0,1)函数图象都过定点(0,1)
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上,值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)];
(2)若x0,则f(x)1;f(x)取遍所有正数当且仅当xR;
(3)对于指数函数f(x)ax(a0且a1),总有f(1)a;
(4)当a>1时,若X<X,则有f(X)<f(X)。
1212
二、对数函数
(一)对数
:一般地,如果aN,那么数叫做以为底的对数,记
x(a0,a1)xaN
...
作:xN(—底数,—真数,—对数式)
logaNlogN
aa
说明:注意底数的限制a0,且a1;
错误!
axNlogNx;
错误!
alogN
a
注意对数的书写格式.
错误!
两个重要对数:
常用对数:以10为底的对数lgN;
错误!
错误!自然对数:以无理数e.
指数式与对数式的互化
--:.
--
幂值真数
ab=NlogN=b
a
底数
指数对数
(二)对数的运算性质
如果a0,且a1,M0,N0,那么:
○,1
log(M·N)logM+logN;
aaa
M
错误!loglogM-logN;
aNaa
logMnnlogM(nR).
错误!
aa
注意:换底公式
logb
logbc(a0,且a1;c0,且c1;b0).
aloga
c
利用换底公式推导下面的结论
(1)n1
nb;(2)logb.
logblog
ammaaloga
b
(二)对数函数
1、对数函数的概念:函数ylogx(a0,且a1)叫做对数函数,其中x是自变量,
a
函数的定义域是(0,+∞).
注意:\o\ac(○,1)对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨
--:.
--
别。如:,都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
y2logxx
2ylog
55
对数函数对底数的限制:(a0,且a1).
错误!
2、对数函数的性质:
a>10<a<1
11
0101
定义域x>0定义域x>0
值域为R值域为R
在R上递增在R上递减
函数图象都过定点(1,
函数图象都过定点(1,0)
0)
(三)幂函数
1、幂函数定义:一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数.
yx(aR)
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);
(2)0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,),当1
时,幂函数的图象下凸;当01时,幂函数的图象上凸;
(3)0时,幂函数的图象在区间(0,),当x从右边
趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于时,图象在x
轴上方无限地逼近x轴正半轴.
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