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第1章空间几何体1
1。1柱、锥、台、球的构造特征
11三视图:
正视图:从前往后
侧视图:从左往右
俯视图:从上往下
22画三视图的原那么:
长对齐、高对齐、宽相等
33直观图:斜二测画法
44斜二测画法的步骤:
(1).平行于坐标轴的线仍然平行于坐标轴;
(2)。平行于y轴的线长度变半,平行于x,z轴的线长度不变;
(3).画法要写好。
5用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图
(一)空间几何体的外表积
1棱柱、棱锥的外表积:各个面面积之和
-1-
2圆柱的外表积
3圆锥的外表积
4圆台的外表积
5球的外表积
(二)空间几何体的体积
1柱体的体积
2锥体的体积
3台体的体积
4球体的体积
第二章直线和平面的位置关系
2。1空间点、直线、平面之间的位置关系
2。1。1
1平面含义:平面是无限延展的
2平面的画法及表示
D
C
B
A
α
(1)平面的画法:程度放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成450,且横边画成邻边的2倍长(如图)
(2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC、平面ABCD等。
3三个公理:
(1)公理1:假设一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
符号表示为
-2-
L
A
·
α
A∈L
B∈L=〉Lα
A∈α
B∈α
公理1作用:判断直线是否在平面内
C
·
B
·
A
·
α
(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
符号表示为:A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α,
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用:确定一个平面的根据。
P
·
α
L
β
(3)公理3:假设两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为:P∈α∩β=〉α∩β=L,且P∈L
公理3作用:断定两个平面是否相交的根据
1空间的两条直线有如下三种关系:
共面直线
相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;
平行直线:同一平面内,没有公共点;
异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点。
2公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表示为:设a、b、c是三条直线
=>a∥c
a∥b
c∥b
强调:公理4本质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。
-3-
公理4作用:判断空间两条直线平行的根据。
3等角定理:空间中假设两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
4注意点:
①a’和b'所成的角的大小只由a、b的互相位置来确定,和O的选择无关,为了简便,点O一般取在两直线中的一条上;
②两条异面直线所成的角θ∈(0,);
③当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b;
④两条直线互相垂直,有共面垂直和异面垂直两种情形;
⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.
。3—2。1。4空间中直线和平面、平面和平面之间的位置关系
1、直线和平面有三种位置关系:
(1)直线在平面内—-有无数个公共点
(2)直线和平面相交—-有且只有一个公共点
(3)直线在平面平行——没有公共点
指出:直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用aα来表示
aαa∩α=Aa∥α
。直线、平面平行的断定和性质
-4-
1、直线和平面平行的断定定理:平面外一条直线和此平面内的一条直线平行,那么该直线和此平面平行。
简记为:线线平行,那么线面平行。
符号表示:
aα
bβ=〉a∥α
a∥b
2。
1、两个平面平行的断定定理:一个平面内的两条交直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行。
符号表示:
aβ
bβ
a∩b=Pβ∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种:
(1)用定义;
(2)断定定理;
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
2。2。3—2。2。4直线和平面、平面和平面平行的性质
1、定理:一条直线和一个平面平行,那么过这条直线的任一平面和此平面的交线和该直线平行。
-5-
简记为:线面平行那么线线平行。
符号表示:
a∥α
aβa∥b
α∩β=b
作用:利用该定理可解决直线间的平行问题.
2、定理:假设两个平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。
符号表示:
α∥β
α∩γ=aa∥b
β∩γ=b
作用:可以由平面和平面平行得出直线和直线平行
2。3直线、平面垂直的断定和性质
。1直线和平面垂直的断定
1、定义
假设直线L和平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L和平面α互相垂直,记作L⊥α,直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面。如图,直线和平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
L
p
α
2、断定定理:一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线和此平面垂直。
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注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可无视;
b)定理表达了“直线和平面垂直”和“直线和直线垂直”互相转化的数学思想。
2。3。2平面和平面垂直的断定
1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭lβ
B
α
2、二面角的记法:二面角α-l—β或α—AB-β
3、两个平面互相垂直的断定定理:一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直。
。3-2。3。4直线和平面、平面和平面垂直的性质
1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理:两个平面垂直,那么一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直。
本章知识构造框图
平面(公理1、公理2、公理3、公理4)
空间直线、平面的位置关系
平面和平面的位置关系
直线和平面的位置关系
直线和直线的位置关系
第三章直线和方程
3。1倾斜角和斜率
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1、直线的倾斜角的概念:当直线l和x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向和直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。特别地,当直线l和x轴平行或重合时,规定α=0°.
2、倾斜角α的取值范围:0°≤α<180°.
当直线l和x轴垂直时,α=90°。
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是
k=tanα
⑴当直线l和x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;
⑵当直线l和x轴垂直时,α=90°,k不存在。
由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在。
4、直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率:
斜率公式:
3。
1、两条直线都有斜率而且不重合,假设它们平行,那么它们的斜率相等;反之,假设它们的斜率相等,那么它们平行,即
注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,=k2,那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率,假设它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,假设它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即
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3。
1、直线的点斜式方程:直线经过点,且斜率为
2、、直线的斜截式方程:直线的斜率为,且和轴的交点为
1、直线的两点式方程:两点其中
2、直线的截距式方程:直线和轴的交点为A,和轴的交点为B,其中
1、直线的一般式方程:关于的二元一次方程(A,B不同时为0)
2、各种直线方程之间的互化。
。1两直线的交点坐标
1、给出例题:两直线交点坐标
L1:3x+4y—2=0
L1:2x+y+2=0
解:解方程组
得x=-2,y=2
所以L1和L2的交点坐标为M(—2,2)
两点间间隔
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两点间的间隔公式
点到直线的间隔公式
:
点到直线的间隔为:
2、两平行线间的间隔公式:
两条平行线直线和的一般式方程为:,
:,那么和的间隔为
圆和方程
4。1。1圆的标准方程
1、圆的标准方程:
圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程
2、点和圆的关系的判断方法:
(1)>,点在圆外
(2)=,点在圆上
(3)〈,点在圆内
。2圆的一般方程
1、圆的一般方程:
2、圆的一般方程的特点:
(1)①x2和y2的系数一样,不等于0.