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高一数学必修二知识点总结
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高一数学必修2知识点总结
高中数学必修2知识点
一、直线与方程
(1)直线的倾斜角
定义:某轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,
当直线与某轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。所以,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°(2)直线的斜率
①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即ktan。斜率反应直线与轴的倾斜程度。
当0,90时,k0;当90,180时,k0;当90时,k不存在。
yy1(某1某2)②过两点的直线的斜率公式:k2某2某1注意下边四点:
(1)当某1某2时,公式右侧无心义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;
(2)k与P1、P2的次序没关;(3)此后求斜率可不经过倾斜角而由直线上两点的
坐标直接求得;
求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率获得。(3)直线方程①点斜式:yy1k(某某1)直线斜率k,且过点某1,y1
注意:当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不可以用点斜式表
,所以它的方程是某=某1。②斜截式:yk某b,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b③两点式:④
截矩式:
yy1y2y1某ay某某1某2某1(某1某2,y1y2)直线两点某1,y1,某
2,y2
1b此中直线l与某轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与某轴、y轴
的截距分别为a,b。
⑤一般式:A某ByC0(A,B不全为0)
各式的合用范围○2特别的方程如:注意:○
平行于某轴的直线:yb(b为常数);平行于y轴的直线:某a(a为常
数);(5)直线系方程:即拥有某一共同性质的直线(一)平行直线系
平行于已知直线A0某B0yC00(A0,B0是不全为0的常数)的直线系:
A0某B0yC0(C为常数)
(二)过定点的直线系
()斜率为k的直线系:yy0k某某0,直线过定点某0,y0;
()过两条直线l1:A1某B1yC10,l2:A2某B2yC20的交点的直线系方程为,此中直线l2不在直线系中。A1某B1yC1A2某B2yC20(为参数)(6)两
直线平行与垂直
第1页
当l1:yk1某b1,l2:yk2某b2时,l1//l2k1k2,b1b2;l1l2k1k21
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。(7)
两条直线的交点
l1:A1某B1yC10l2:A2某B2yC20订交交点坐标即方程组A1某B1yC10的一
组解。
A2某B2yC20方程组无解l1//l2;方程组有无数解l1与l2重合(8)两点间距离公式:设A(某1,y1),B是平面直角坐标系中的两个点,(某2,y2)则
|AB|(某2某1)2(y2y1)2
(9)点到直线距离公式:一点P某0,y0到直线l1:A某ByC0的距离d
(10)两平行直线距离公式
在任向来线上任取一点,再转变为点到直线的距离进行求解。
A某0By0CAB22
二、圆的方程
、圆的定义:平面内到必定点的距离等于定长的点的会合叫圆,定点为圆心,定长为圆的
半径。
、圆的方程
(1)标准方程某aybr2,圆心a,b,半径为r;
(2)一般方程某2y2D某EyF0当0时,方程表示圆,此时圆心为
22D2,1E,半径为r22D2E24F
当DE4F0时,表示一个点;当DE4F0时,方程不表示任何图形。
(3)求圆方程的方法:一般都采纳待定系数法:先设后求。确立一个圆需
要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,
需要求出D,E,F;
此外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确立
圆心的地点。3、直线与圆的地点关系:
直线与圆的地点关系有相离,相切,订交三种状况,基本上由以下两种方
法判断:
(1)设直线l:A某ByC0,圆C:某a2yb2r2,圆心Ca,b到l的距离为dAaBbCAB222,则有drl与C相离;drl与C相切;drl与C订交
(2)设直线l:A某ByC0,圆C:某aybr2,先将方程联立消元,获得一个一元二次方程以后,令此中的鉴别式为,则有
0l与C相离;0l与C相切;0l与C订交
2注:假如圆心的地点在原点,可使用公式某某0yy0r去解直线与圆相切
的问题,此中某0,y0表示切点坐标,r表示半径。
过圆上一点的切线方程:
22
①圆某2+y2=r,圆上一点为(某0,y0),则过此点的切线方程为某某
0yy0r(课本命题).
2222
②圆(某-a)+(y-b)=r,圆上一点为(某0,y0),则过此点的切线方程为(某
0-a)(某-a)+(y0-b)(y-b)=r(课本命题的推行).
第2页
、圆与圆的地点关系:经过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确立。设圆C1:某a12yb12r2,C2:某a22yb22R2两圆的地点关系常经过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确立。当dRr时两圆外离,此时有公切线四条;
当dRr时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;当
RrdRr时两圆订交,连心线垂直均分公共弦,有两条外公切线;当dRr时,两
圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;当dRr时,两圆内含;当d0时,
为齐心圆。
三、立体几何初步
1、柱、锥、台、球的结构特色
(1)棱柱:定义:有两个面相互平行,其他各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共
边都相互平行,由这些面所围成的几何体。
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱
等。
表示:用各极点字母,如五棱柱ABCDEA"B"C"D"E"或用对角线的端点字母,如五棱柱
"AD
几何特色:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且
相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥
定义:有一个面是多边形,其他各面都是有一个公共极点的三角形,由这些面所围成的几何体
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥
等
表示:用各极点字母,如五棱锥PABCDE
几何特色:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相像,其
相像比等于极点到
截面距离与高的比的平方。
(3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之
间的部分分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五
棱台等
表示:用各极点字母,如五棱台PABCDE
几何特色:①上下底面是相像的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱
锥的极点(4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其他三边旋转
所成的曲面所围成的几何体
几何特色:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂
直;④侧面睁开图
是一个矩形。
(5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的
曲面所围成的几何
体
第3页
几何特色:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的极点;③侧面睁开图是一
个扇形。(6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底
面之间的部分几何特色:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶
点;③侧面睁开图是一个弓形。(7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋
转轴,半圆面旋转一周形成的几何体几何特色:①球的截面是圆;②球面上任
意一点到球心的距离等于半径。2、空间几何体的三视图
定义三视图:正视图(光芒从几何体的前面向后边正投影);侧视图(从左
向右)、俯视图(从上向下)
注:正视图反应了物体上下、左右的地点关系,即反应了物体的高度和长
度;俯视图反应了物体左右、前后的地点关系,即反应了物体的长度和宽度;
侧视图反应了物体上下、前后的地点关系,即反应了物体的高度和宽度。
、空间几何体的直观图斜二测画法
斜二测画法特色:①本来与某轴平行的线段仍旧与某平行且长度不变;②本来与y轴平行的线段仍旧与y平行,长度为本来的一半。
、柱体、锥体、台体的表面积与体积
(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
(2)特别几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,h为斜高,l为母
线)
"
直棱柱侧面积S正棱台侧面积12chS圆柱侧2rhS正棱锥侧面积
(c1c2)h"S圆台侧面积(rR)l
12ch"S圆锥侧面积rl
S圆柱表2rrlS圆锥表rrlS圆台表r2rlRlR2
(3)柱体、锥体、台体的体积公式V柱ShV圆柱ShV台13(S""21rhV锥
ShV圆锥1r2h
33SSS)hV圆台13(S"SSS)h"13(rrRR)h
22
(4)球体的表面积和体积公式:V球4、空间点、直线、平面的地点关系
=
43R3;S
球面=4R2
第4页(1)平面
①平面的观点:;;
②平面的表示:往常用希腊字母α、β、γ表示,如平面α(往常写在
一个锐角内);
也能够用两个相对极点的字母来表示,如平面BC。③点与平面的关系:点A在平面内,记作A;点A不在平面内,记作A点
与直线的关系:点A的直线l上,记作:A∈l;点A在直线l外,记作Al;
直线与平面的关系:直线l在平面α内,记作lα;直线l不在平面α
内,记作lα。(2)公义1:假如一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线
是全部的点都在这个平面内。
(即直线在平面内,或许平面经过直线)
应用:查验桌面能否平;判断直线能否在平面内
用符号语言表示公义1:Al,Bl,A,Bl(3)公义2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。
推论:向来线和直线外一点确立一平面;两订交直线确立一平面;两平行直线确立一平面。
公义2及其推论作用:①它是空间内确立平面的依照②它是证明平面重合的依照(4)公义3:假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号:平面α和β订交,交线是a,记作α∩β=a。
符号语言:PABABl,Pl公义3的作用:
①它是判断两个平面订交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共
点。③它能够判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依照。(5)公义4:
平行于同一条直线的两条直线相互平行(6)空间直线与直线之间的地点关系
①异面直线定义:不一样在任何一个平面内的两条直线②异面直线性质:既
不平行,又不订交。
③异面直线判断:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内可是该店的
直线是异面直线④异面直线所成角:直线a、b是异面直线,经过空间随意一点
O,分别引直线a’∥a,b’∥b,则把直线a’和b’所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是(0°,90°],若
两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线相互垂直。说明:
1)判断空间直线是异面直线方法:①依据异面直线的定义;②异面直线的判
定定理(2)在异面直线所成角定义中,空间一点O是任取的,而和点O的地点没关。②求异面直线所成角步骤:
、利用定义结构角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特别的地点,极点选在特别的地点上。B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角
(7)等角定理:假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补。(8)空间直线与平面之间的地点关系
直线在平面内有无数个公共点.
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三种地点关系的符号表示:aαa∩α=Aa∥α
(9)平面与平面之间的地点关系:平行没有公共点;α∥β订交有一条公共直线。α∩β=b
、空间中的平行问题
(1)直线与平面平行的判断及其性质
线面平行的判断定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。
线线平行线面平行
线面平行的性质定理:假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面订交,
那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行
(2)平面与平面平行的判断及其性质两个平面平行的判断定理
(1)假如一个平面内的两条订交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行
(线面平行→面面平行),
(2)假如在两个平面内,各有两组订交直线对应平行,那么这两个平面平行。(线线平行→面面平行),
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行,两个平面平行的性质定理
(1)假如两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。(面面平行→线面平行)(2)假如两个平行平面都和第三个平面订交,那么它们的交线平行。(面面平行→线线平行)7、空间中的垂直问题
(1)线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直:假如两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线相互垂直。②线面垂直:假如一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直。
③平面和平面垂直:假如两个平面订交,所成的二面角(从一条直线出发
的两个半平面所构成的图形)是直二面角(平面角是直角),就说这两个平面垂直。(2)垂直关系的判断和性质定理①线面垂直判断定理和性质定理判断定
理:假如一条直线和一个平面内的两条订交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面。性质定理:假如两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。②面面垂直的判断定理和性质定理
判断定理:假如一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直。性质定理:假如两个平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
、空间角问题
(1)直线与直线所成的角
①两平行直线所成的角:规定为0。
②两条订交直线所成的角:两条直线订交此中不大于直角的角,叫这两条
直线所成的角。③两条异面直线所成的角:过空间随意一点O,分别作与两条异面直线a,b平行的直线a,b,形成两条订交直线,这两条订交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。
(2)直线和平面所成的角
①平面的平行线与平面所成的角:规定为0。②平面的垂线与平面所成的角:规定为90。③平面的斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。
求斜线与平面所成角的思路近似于求异面直线所成角:“一作,二证,三计算”。
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在“作角”时依定义重点作射影,由射影定义知重点在于斜线上一点到面
的垂线,在解题时,注意发掘题设中两个主要信息:(1)斜线上一点到面的垂
线;(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线。(3)二面角和二面角的平面角①二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所构成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。②二面角的平面角:以二面角的棱上随意一点为极点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射.....线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角。③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。
两订交平面假如所构成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,假如两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角④求二面角的方法
定义法:在棱上选择相关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线获得平面角垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角7、空间直角坐标系
(1)定义:如图,OBCDD,A,B,C,,分别以
OD,OA,,OB的方向为正方向,。这时成立了一个空
间直角坐标系O某yz.
)O叫做坐标原点2)某轴,y轴,)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。
(2)右腕表示法:令右手大拇指、食指和中指相互垂直时,可能形成的位
置。大拇指指向为某轴正方向,食指指向为y轴正向,中指指向则为z轴正
向,这样也能够决定三轴间的相地点。
(3)随意点坐标表示:空间一点M的坐标能够用有序实数组(某,y,z)来表
示,有序实数组(某,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作
M(某,y,z)(某叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐
标)
(4)空间两点距离坐标公式:d(某2某1)2(y2y1)2(z2z1)2
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