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组复/故/
年水文第期
一二
拉格朗日插值公式病态现象的研究
郭永杰
——————一
—
长春水文水资源勘测局
拉格朗目插值公式以下简称拉氏插值公多项式函数:
式是比较常用的数值插算公式在水文资料
电算整蕴中,水位流量关系线法推流部分大多
采用拉氏插值公式的二次式形式,即一元三点舌一
插值法。经过近十年的实际应用,采用一元三
上式即为拉氏插值公式
点插值法由水位插算流量,基本上达到了精度
当时,便可得到电算整编中使用的
要求, 其公式的可靠性也得到了相应的验证
一元三点插值公式:
然而,应用拉氏插值公式的次式形
式进行数值的插算,其插算出的数值有时会出三告
现异常偏大或偏小现象,这与插算误差有着根
—

本的区别,我们把这种现象称为拉氏插值公式一一
的病态现象。为讨论方便, 本文以水位流量的—

。
插算为侧,对拉氏插值公式的病态现象进行初一一
步的探讨。
拉氏插值公式的病态分析
插值问题及拉氏插值公式
拉氏插值公式的病态现象比较复杂, 它不
所谓插值问题是指: 已知点】,,⋯, 仅与点对个数有关, 而且还与一些其它因素,
处的函数值,,⋯,, 求插值点处的函象点据呈现的线型、点据的坐标分布等有着不
数值对水位流量的插算来说, 就是已知水太明显的关系。为了便于讨论, 在研究每种因
位流量关系曲线的对结点, 素引起的病态现象时, 暂时忽略其它因素的影
,,⋯, ,插算其问任何水位不妨响。下面按拉氏插值公式的两种使用方法分别
设⋯所对应的流量。加以分析
为了利用已知点对, . 按点——全点式使用产生的病态现
,,⋯, 插算处的函数值,需构造一象
种函数,使它在【.,⋯, 处所谓按点——全点式使用, 就是按已
的函数值恰好是,:“, 由于多项式函知的对水位流量关系结点,
数较简单, 因此, 容易构造满足上述要求的, , ⋯, , 这里不妨设】⋯
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表
木位】
流量/
表
水位.
流量/
, 直接构造拉氏插值公式的”点式形流量关系线, 而非均匀分布的结点插算的流量
式,并据此插算其间任何水位所对应的流在. 以下出现了病态现象。在.
量。采用此法由水位插算流量会出现下面处的病态插值为/ , 与原线对应
几种病态现象。值/相差一.% 。
.. 结点分布型病态.. 结点数增加型病态
在线型及结点个数一定的情况下, 由于当线型一定时结点数均匀增加也容易引
结点分布不均而产生的插值病态现象, 我们起病态。我们以一段正向水位流量关系曲线作
以一段直线型水位流量关系为例见图, 为研究对象见图, 选取两组结点分别列
在其上选取如下两组结点分别列于表及表于表及表中。
中。
圈目。
两组结点个数相同, 前组结点较均匀地分表
布在.~ 之间;后组结点则大多数水位流量/ 水位巾流量’/
分布在.—之间,极不均匀。
按点——全点式使用, 以两组结点分
】.
. 之间的水位借助于计
算机每隔. 进行一次插算, 下同所对应

的流量,并点绘在图中。由该图可以看出:
按