文档介绍：教案一多项式插值法和拉格朗日插值
基本内容提要
1 多项式插值法的基本概念
2 插值多项式的存在性与唯一性分析
3 拉格朗日插值多项式的构造及截断误差
4 截断误差的实用估计式
5 逐次线性插值法
教学目的和要求
1 熟练掌握多项式插值法的基本概念
2 理解插值多项式的存在性与唯一性
3 掌握拉格朗日插值法
4 掌握截断误差的估计方法
5 理解逐次线性插值法的基本思想,掌握 Aitken 逐次线性插值法
6 掌握运用拉格朗日插值法处理问题的基本过程
教学重点
1 拉格朗日插值基函数及拉格朗日插值多项式的构造
2 拉格朗日插值多项式的截断误差分析
3 逐次线性插值法的基本思想
教学难点
1 插值多项式存在唯一性条件的讨论分析
2 插值误差的分析与估计
3 Aitken 逐次线性插值法的计算过程
课程类型
新知识理论课
教学方法
结合提问,以讲授法为主
教学过程
问题引入
实际问题中许多变量间的依赖关系往往可用数学中的函数概念刻画,但在多
数情况下,这些函数的表达式是未知的,或者函数已知,但形式十分复杂。基于
未知函数或复杂函数的某些已知信息,如何构造这些函数的近似表达式?如何计
算这些函数在其它点处的函数值?所构造的近似表达式与真实函数的误差是多
少?插值理论与方法就是解决这些问题的有效工具之一。

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§ 多项式插值

基本概念
假设 f ()x 是定义在区间[,]ab 上的未知或复杂函数,但已知该函数在点
处的函数值。找一个简单的函数,例如多项式
ax≤<<01 xL <≤xn b yy01,,L yn
函数 P(x),使之满足条件
Px (ii )== y , i 0,1,2,L , n , ()
即在给定点 xi 处,P(x)与 f ()x 是相吻合的。
通常把上述称为插值节点,把称为的插值多项式(函
x01< xx<<L n P(x) f ()x
数), f ()x 称为被插函数。[,]ab称为插值区间,条件()称为插值条件,并
把求 P(x)的过程称为插值法。
如果 P(x)为 m 次多项式
mm−1
Pxmmm()=+ ax01 ax +L a− 1 xa + ,
则称该插值法为多项式插值;如果 P(x)为三角多项式,则称为三角插值;如果
P(x)为分段多项式,则称为分段插值。

画图说明插值法的几何意义。

插值多项式的存在性与唯一性
如果插值函数是如下 m 次的多项式:
mm−1
Pxmmm()=+ ax01 ax +L a− 1 xa + ,

那么插值函数的构造就是要确定表达式中的个系数。由于
Pxm () m+1 aa01,,L , am
插值条件包含 n+1 个独立等式,所以只要 m=n,就可以证明这样的插值多项式
是唯一存在的。
实际上,由 n+1 个插值条件可得
nn−1
⎧ax00++ ax 10L ann− 10 x += a y 0
⎪ nn−1
⎪ ax01++ ax 11L ann− 11 x += a y 1
⎨()
⎪ M
⎪ nn