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、个体
在数理统计学中,我们把所研究的全部元素组成的集合称为总体;而把组成
总体的每个元素称为个体。
例如:在研究某批灯泡的平均寿命时,该批灯泡的全体就组成了总体,而其
中每个灯泡就是个体;在研究我校男大学生的身高和体重的分布情况时,该校的
全体男大学生组成了总体,而每个男大学生就是个体。
但对于具体问题,由于我们关心的不是每个个体的种种具体特性,而仅仅是
它的某一项或几项数量指标X(可以是向量)和该数量指标X在总体的分布情况。
在上述例子中X是表示灯泡的寿命或男大学生的身高和体重。在试验中,抽取了
若干个个体就观察到了X的这样或那样的数值,因而这个数量指标X是一个随
机变量(或向量),而X的分布就完全描写了总体中我们所关心的那个数量指标
的分布状况。由于我们关心的正是这个数量指标,因此我们以后就把总体和数量
指标X可能取值的全体组成的集合等同起来。
定义1:把研究对象的全体(通常为数量指标X可能取值的全体组成的集合)称
为总体;总体中的每个元素称为个体。
我们对总体的研究,就是对相应的随机变量X的分布的研究,所谓总体的
分布也就是数量指标X的分布,因此,X的分布函数和数字特征分别称为总体
的分布函数和数字特征。今后将不区分总体与相应的随机变量,笼统称为总体
X。根据总体中所包括个体的总数,将总体分为:有限总体和无限总体。
例1:考察一块试验田中小麦穗的重量:
X=所有小麦穗重量的全体(无限总体);个体——每个麦穗重x
对应的分布:
(t)2
重量x的麦穗数1x
F(x)P{x}e22dt~N(,2)0x
总麦穗数2
例2:考察一位射手的射击情况:
X=此射手反复地无限次射下去所有射击结果全体;
每次射击结果都是一个个体(对应于靶上的一点)
1射中
个体数量化x
0未中
1在总体中的比例p为命中率
0在总体中的比例1p为非命中率
总体X由无数个0,1构成,其分布为两点分布B(1,p)
P{X1}p,P{X0}1p
为了对总体的分布进行各种研究,就必需对总体进行抽样观察。
抽样——从总体中按照一定的规则抽出一部分个体的行动。
一般地,我们都是从总体中抽取一部分个体进行观察,然后根据观察所得数
据来推断总体的性质。按照一定规则从总体X中抽取的一组个体(X,X,,X)
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称为总体的一个样本,显然,样本为一随机向量。
为了能更多更好的得到总体的信息,需要进行多次重复、独立的抽样观察(一
般进行n次),若对抽样要求①代表性:每个个体被抽到的机一样,会保证了
X,X,,X的分布相同,与总体一样。②独立性:X,X,,X相互独立。那
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么,符合“代表性”和“独立性”要求的样本(X,X,,X)称为简单随机样本。
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易知,对有限总体而言,有放回的随机样本为简单随机样本,无放回的抽样不能
保证X,X,,X的独立性;但对无限总体而言,无放回随机抽样也得到简单随
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机样本,我们本书则主要研究简单随机样本。