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传说在五千年前;大禹治水的时代;人们在黄河中发现一只大龟;龟背上有一些奇怪的图案;经过破译;人们将龟背上的神奇的图案译成了这样的数阵图;也称做幻方..
幻方和数阵是我国文化遗产之一;早在公元前4世纪就有“河图”、“洛书”的传说与记载..到了宋朝;杨辉对幻方已有较详细的记述;并探索出一些编制方法..明朝程大位、清朝张潮等人;创制了绚丽多彩的幻方与数阵图式;其中九宫图是最简单的三阶幻方..
将三阶幻方推广;结合某些几何图形;把一些数字填入图形的某种位置上;并使数字满足一定的约束条件;这类问题;通常被称为“数阵图”..幻方是特殊的数阵图..大约在15世纪初;幻方传到国外;引起了欧洲很多数学家的兴趣;发现许多新成果..人们发现幻方不仅仅是一种数字游戏;而且与实验方案的设计及一些高深数学分支有关;幻方已成为数阵图中最重要的课题;是数学研究中的一个重要分支..
数阵图大致分三种:封闭型数阵图、开放型数阵图和复合型数阵图..
幻方的特点:一个幻方每行、每列、每条对角线上的几个数的和都相等..这个相等的和叫“幻和”..要求在n行n列的方格里;既不重复又不遗漏地填上n×n个连续的自然数..这些自然数所组成的一列数有极强的规律性;按顺序排列后;每一项都比它前面的一项大1;即它们构成了差相等的数列;是等差数列..
因此在解答这类问题时;常用的知识有:
总和=首项+末项×项数÷2
奇数±奇数=偶数
偶数±偶数=偶数
奇数±偶数=奇数
可简记为:同性为偶;异性为奇注:同性是同奇或同偶;异性是指一奇一偶..
重点·难点
要善于确定所求的和与关键数字间的关系;用试验的方法;找到相等的和与关键数字;并会对基本解中的数进行适当调整;找到其他的解..还应注意到;对于不同的数阵图形;关键数字的位置会有所不同..并且若题目中没有特殊要求;只求出一个基本解即可..
学法指导
解数阵图的一般方法:
1认真分析隐含的数量关系和数字的位置关系;以特殊的位置为突破口;一般选择使用次数多的数作为关键数..
2依据数阵图中的条件;建立所求的和与关键数的关系式;并通过讨论最大值与最小值;以及试验的办法确定关键数的数值及相等的和..
3对其他部位上的数字作尝试选填;一直到能够得出符合要求的排法为止..
经典例题
例1把1~6这6个数分别填在图1等边三角形上的○内;使每条边上三个○内的数字和相等..
思路剖析
先将六个数字的位置用字母标识出来..1+2+3+4+5+6=21;用s表示每边上三个○内数的和..因为三个顶点上的数在求和时;都用了两次;则有21+a+b+c=3×s;因为a+b+c的最小值为1+2+3=6;最大值为4+5+6=15;所以3×s的最小值为21+6=27;最大值为21+15=36..那么s的最小值为9;最大值为12..也就是说此图形每条边上三个数字的和可能为9、10、11或12..
解答
1当s=9时;a+b+c=6
这时:a=1;b=2;c=3
d=s-a+b=9-1+2=6
e=s-a+c=9-1+3=5
f=s-b+c=9-2+3=4
2当s=10时;a+b+c=9
这时a;b;c的可能情况有三种:
ia=1;b=2;c=6
d=s-a+b=10-1+2=7
因为数字超出可选范围;所以不合题意..
iia=1;b=3;c=5
d=s-a+b=6
e=s-a+c=4
f=s-b+c=2
iiia=2;b=3;c=4
d=s-a+b=5
e=s-a+c=4
因为数字出现重复;所以不合题意..
3当s=11时;a+b+c=12
这时a、b、c的可能情况有:
ia=1;b=5;c=6
d=s-a+b=5
因为数字出现重复;所以不合题意..
iia=2;b=4;c=6
d=s-a+b=5
e=s-a+c=3
f=s-b+c=1
iiia=3;b=4;c=5
d=s-a+b=4
因为数字出现重复;所以不合题意..
4当s=12时;a+b+c=15
那么a=4;b=5;c=6
d=s-a+b=3
e=s-a+c=2
f=s-b+c=1
点津
通过求和、确定最大值和最小值等方法;尽量得到关键位置数字的最小范围..
例2将1~10十个数字填入图2的10个○内;使每个四边形四个顶点上各数的和等于24..
思路剖析
题中的条件要求每个四边形四个顶点的和等于24..从图中可以看出;有三个四边形;有2个位置的数字被重复使用..它们即为解题的突破口..三个四边形的总和24×3=72;1+2+…+10=55;那么中间位置两个数字和为72-55=17..1~10中和为17的数为10与7;9与8..当中间数为10和7时;有:2+3+9+10=24;1+6+7+10=24;4+5+7+8=24;得第一种结果..当中间数为9和8时;有:1+5+8+10=24;3+4+8+9=24;2+6+7+9=24;得第二种结果..
解答
点津
找到关键位置的数字;使它们与所给数字的总和建立联系;然后确定它们的数值;再相应得到其他位置的数字..
例3把1~8各数填入图3的圆圈内;使每个面上四数的和等于18..
思路剖析
此立方体图形比较特殊;每个顶点位置的数字被重复的次数相同..因此找不到关键数字..因此只能从每个面上四个数字的和为18入手..先将1填入其中任意一个位置;来找到所有含有“1”;并且和为18的情况;有:1+2+7+8;1+3+6+8;1+4+5+8;1+4+6+7..将其中任意一组的4个数放入其中一个面的四个圈中;再将其他的数字以此为基础做出调整;即可得出答案..
解答
例420以内共有10个奇数;去掉9和15还剩八个奇数..将这八个奇数填入图4的八个○中其中“3”已填好;使得用箭头连接起来的四个数之和都相等..
思路剖析
需要填入的7个数字为1、5、7、11、13、17、19..此7个数字和为1+5+7+11+13+17+19=73..最后一个位置的数为关键数;它可能为7个数中的一个..①若为1;则6个数的和为73-1=72;由题意可知;中间三组每两个数的和相等;那么和为72÷3=24;24-19=5;24-17=7;24-13=11..则得结果为:
②若末尾位置数字为5;则6个数的和为73-5=68;不能被3整除;则不合题意..③若末尾数字为7;则6个数字的和为73-7=66;那么中间组两数之和为66÷3=22;22-19=3;数字超出可选范围;不合题意..④若末尾数字为11;则6个数字的和为73-11=62;不能被3整除;则不合题意..⑤若末尾数字为13;则6个数字的和为73-13=60;那么中间组两数之和为60÷3=20;20-19=1;20-17=3;超出了可选范围;不合题意..⑥若末尾数字为17;则6个数字的和为73-17=56;不能被3整除;则不合题意..⑦若末尾数字为19;则6个数字的和为73-19=54;那么中间组两数和为:54÷3=18..18-17=5;18-13=5;18-11=7..
解答
结果为:
例5将1~12这十二个数分别填入图5中的各个圈内;使每条线段上五个圈内数的和相等;并且两个六边形六个顶点上圈内数的和也相等..
思路剖析
此数阵图受两种图形的制约;既要使三条相交线段上的五个数的和相等;又要使两个六边形六个顶点上的数字和相等..因此不妨先使其满足其中一个数阵图;再经过调整使之满足整个图形的要求..首先考虑三条线段相交的这种开放型数阵图..因为中心数已给出;则不加以考虑..由于每条线段上四个圈内的数的和相等;那么每条线段上四个数的和为:1+2+…+12÷3=78÷3=26..因26是一个偶数;所以每条线段上四个数中奇数的个数一定偶数个..每条线段上四个数和的一半是26÷2=13;也就是说;一个奇数与一个偶数要组成13..搭配的方法如下:1+12;2+11;3+10;4+9;5+8;6+7..由此可得到三条线段相当的数阵图的一个解..
再来考虑满足六边形上六个顶点的数字和相等..其数字和应为26+13=39..将开放图中数阵图的答案进行适当的调整;可得到答案..
解答
结果如图6所示..
点津
对于较复杂的数阵图;要学会将其分解;化难为易;逐个突破难关..
例6将1~9九个数字填在图7内九个方格里;每格填一个数字;使每一横行、每一纵行和两条对角线上的三个数之和相等..
思路剖析
1~9九个数字之和正好为三个纵行或横行的数字之和;1+2+…+9=45..由题意知每一横行、纵行和对角线上的三个数之和相等..则此三个数的和为45÷3=15..找到所有三个数和为15的情况:1+5+9;1+6+8;2+4+9;2+5+8;2+6+7;3+4+8;3+5+7;4+5+6..图中位于中心位置的数是关键数;有四条线通过它;因此要求它出现于4个算式中;容易找出这个数是5..4个角上的数字有三条线通过;应该在算式中出现三次;找到它们是2、4、6、8..则其他位置的数通过简单计算可确定..
解答
☆解法一:这就是我们在本讲开篇所提到的幻方..
☆解法二:介绍数学家杨辉对幻方构造方法的总结..他写道:“九子排列;上下对易;左右相更;四维挺出”..用图式解释为:
☆解法三:由解法二的分析;可以得到一种适合于编排所有的奇数阶幻方的方法;罗伯法..
罗伯法口诀如下:①1居下行正中央;②依次斜填切莫忘;③下出框时往上写;④左出框时往右放;⑤排重便往上格填;⑥左下排重一个样..现以3阶幻方为例应用此口诀..
点津
运用罗伯法只能构造出奇数阶的幻方..若所要填入的n×n个自然数;不是从1开始的;那么就把最小的一个当做是“1”;仍可以用罗伯法来构造..
例7将1~16这十六个数分别填在四阶方阵的各个小格中;使其构成一个四阶幻方..
思路剖析
先求出此幻方的幻和:1+2+…+16÷4=136÷4=34..将1~16这十六个数分别填在四阶方阵的各个小格内;这时两主对角线上四个数的和为34;正好等于四阶幻方的幻和;其他每行、每列四个数的和都不等于34..如图8
保持两主对角线上的数不动;通过改变其他位置的数字来达到目的..先将一、四两列和二、三两列中的其他数字互相交换..如图9;再将一、四两行与二、三两行中非主对角线上的数字交换;就得到一个四阶幻方..也可将以上步骤归纳为:保持对角线上的数字不变;其他各数都做中心对称交换..
解答
点津
注意此法的适用范围;限于四阶幻方..
发散思维训练
、5、6、7、8、9六个数;填在图10的空格里;使每条线上的三个数的和都是18..
、4个大三角形;请把0~9填入图中的小三角形内;每格填一个数;使4个大三角形内的数字和相等..
、2、4、6;使每个圆中4个数的和都是15..
~7填入图13中圆锥的7个小圆圈内;使3条线段上3个数之和、两圆周上3个数之和均相等..
~7七个数字;填入图14中的圈内;使每条线上三个数的和相等..
;使得每行、行列以及每条对角线上方格中的四个数都是1、2、3、4..
~13中选出12个数;填入图16空格中;使每横行四数之和相等;每竖列三数之和也相等..
参考答案
:
由已知条件;每条线上三个数的和是18;那么三条线上9个数的和为18×3=54;且六个数的和4+5+6+7+8+9=39;三角形三个顶点上的数是重复相加的;所以三个顶点的数字和为54-39=15..六个数字中和为15的数为4、5、6..则三个顶点的数字分别为4、5、6..其他数字易求..结果如图1所示..
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每个大三角形内有4个小三角形;中心位置的小三角形用到的次数最多;有4次..则它一定为0;由它的特殊位置决定..
由题意知a+b+c=d+e+f=g+h+i=b+e+h;l+2+…+9=45;那么每一个大三角形的数字和为45÷3=15;l~9中;和为15的不重复数字的组合有:1、6、8;3、5、7;2、4、9..从此三组中分别取一个数字使其和仍为15的是4、5、6..即它们为b、e、h..所以结果为图2右图所示..
:
由于每个圆中4个数的和为15;分别求出上圆另外两数和为15-3-5=7;易知1+6=7;左圆另外两数的和为15-3-7=5;易知1+4=5;右圆另外两数的和为15-5-7=3;易知1+2=3..则中间数一定为1;结果为图3所示..
:
在此圆锥图形中;除了顶点位置的数字;其余位置的数字各用了两次;顶点位置用了3次..设顶点位置数为a;那么三条线段及2个圆周的数字和为2×1+2+…+7+a=56+a;由于线段和圆周的数字和相等..那么56+a应能被5整除;那么a只能为4;56+4=60;那么线段和圆周上的数字和为60÷5=12..在1、2、3、5、6、7中和为12-4=8的组有3+5=8;2+6=8;l+7=8..那么可得到结果如图4所示..
:
先求解中间的数字;设中间的数字为x;那么三条线段上的数字和应为l+2+…+7+2×x因为中间数被用过3次=28+2×x..由题意知每条线段上的数字和相等..那么28+2×x应为3的整数倍..在l~7七个数中满足此条件的数有l、4、7..
1当x=l时28+2×x=30;30÷3=10;
在2、3、4、5、6、7中和为9的两数有:2+7;3+6;5+4..
2当x=4时;28+2×x=36;36÷3=12;
在l、2、3、5、6、7中和为8的两数有:l+7;2+6;3+5..
3当x=7时;28+2×x=42;42÷3=14;
在l、2、3、4、5、6中和为7的两数有:l+6;2+5;3+4..
所得结果如图5所示..
:
将空格中的位置用字母标出来..根据条件可确定A=3;则B=4;E=3;则H=l;那么D=l;C=4;G=4;K=2;J=l;I=3;F=2;如图6所示..
:
先确定哪一个数没有被选人..设每行的数字和为S;将三横行的数字相加;和可表示为3×S;并且是将12个数字相加求和得到的..设每列的数字和为A;那么四列的数字和为4×A..设未被选中的数字为a;则有3×S=4×A=l+2+…+13-a那么3×S=4×A=91-a;由于3与4互质;则91-a一定为12的整数倍..由题中所给数字的限定;只有当a=7时;91-7=84;满足条件..相应可求出S=28;A=21..将1;2;3;4;5;6;8;9;10;11;12;13;分成每四个一组且和为28;得到:13+10+4+1;9+8+6+5;12+11+3+2..分成每三个一组且和为21;得到:11+9+l;13+6+2;12+5+4;10+8+3..所得结果如图7所示..