93圆的方程.doc

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一、选择题
(1,-1),B(-1,1),那么以线段AB为直径的圆的方程是( ).
+y2=2 +y2=
+y2=1 +y2=4
解析 AB的中点坐标为:(0,0),
|AB|==2,
∴圆的方程为:x2+y2=2.
答案 A
=4x的焦点为圆心,半径为2的圆的方程为( )
+y2-2x-1=0 +y2-2x-3=0
+y2+2x-1=0 +y2+2x-3=0
解析∵抛物线y2=4x的焦点是(1,0),∴圆的标准方程是(x-1)2+y2=4。展开得x2+y2-2x-3=0.
答案B
:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2和圆C1关于直线x-y-1=0对称,那么圆C2的方程为( )
A.(x+2)2+(y-2)2=1
B.(x-2)2+(y+2)2=1
C.(x+2)2+(y+2)2=1
D.(x-2)2+(y-2)2=1
解析只要求出圆心关于直线的对称点,就是对称圆的圆心,(a,b),那么依题意,有
解得对称圆的半径不变,为1.
答案 B
=x-1上的点到圆x2+y2+4x-2y+4=0的最近间隔为( )
.-1
-
解析圆心(-2,1)到直线的间隔为d=2,圆的半径为r=1,
故所求间隔dmin=2-1.
答案C
(4,-2)和圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ).
A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1
解析 设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),那么解得因为点Q在圆x2+y2=4上,所以x+y=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x-2)2+(y+1)2=1。
答案 A
(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0的间隔等于1,那么半径r的取值范围是( ).
A.(4,6)B.[4,6)C.(4,6]D.[4,6]
解析 因为圆心(3,-5)到直线4x-3y-2=0的间隔为5,所以当半径
r=4时,圆上有1个点到直线4x-3y-2=0的间隔等于1,当半径r=6时,圆上有3个点到直线4x-3y-2=0的间隔等于1,所以圆上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0的间隔等于1时,4<r<6.
答案 A
,一个直径为1的小圆沿着
直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动,M和N是z
,当小圆这
样滚过大圆内壁的一周,点M,N在大圆内所绘出的
图形大致是( ).
解析 如图,建立直角坐标系,由题意可知,小圆O1总和大圆O相内切,且小圆O1总经过大圆的圆心O。设某时刻两圆相切于点A,此时动点M所处位置为点M′,那么大圆圆弧的长和小圆圆弧的长之差为0或2π.
切点A在三、四象限的差为0,在一、二象限的差为2π。
以切点A在第三象限为例,记直线OM和此时小圆O1的交点为M1,记∠AOM=θ,那么∠OM1O1=∠M1OO1=θ,故∠M1O1A=∠M1OO1+∠OM1O1=2θ。大圆圆弧的长为l1=θ×2=2θ,小圆圆弧的长为l2=2θ×1=2θ,那么l1=l2,即小圆的两段圆弧和的长相等,故点M1和点M′,同理可知,,故
M,N的轨迹为互相垂直的线段.
观察各选项知,。
答案 A
二、填空题
(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,那么C的方程为________.
解析 线段AB的中垂线方程为2x-y-4=0,和x轴的交点(2,0)即为圆心C的坐标,所以半径为|CB|=,所以圆C的方程为(x-2)2+y2=10。
答案 (x-2)2+y2=10
(0,4),B(4,6),且圆心在直线x-2y-2=0上的圆的标准方程是________.
解析设圆心坐标为(a,b),圆半径为r,那么圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
∵圆心在直线x-2y-2=0上,∴a-2b-2=0,①
又∵圆过两点A(0,4),B(4,6),∴(0-a)2+(4-b)2=r2,②且(4-a)2+(6-b)2=r2,③
由①②③得:a=4,b=1,r=5,
∴圆的方程为(x-4)2+(y-1)2=25。
答案(x-4)2+(y-1)2=25
:(x-3)2+(y-4)2=1,点A(0,-1),B(0,1).P是圆C上的动点,当|PA|2+|PB|2取最大值时,点P的坐标是________.
解析设P(x0,y0),那么|PA|2+|PB|2=x+(y0+1)2+x+(y0-1)2=2(x+y)+2,
显然x+y的最大值为(5+1)2,
∴dmax=74,此时=-6,结合点P在圆上,解得点P的坐标为.
答案
(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,那么△ABC面积的最小值为________.
解析 lAB:x-y+2=0,圆心(1,0)到lAB的间隔d==,∴AB边上的高的最小值为-1.
∴Smin=×(2)×=3-.
答案 3-
:①过原点;②圆心在直线y=x上;③截y轴所得的弦长为4,那么圆C的方程是________.
解析由题意可设圆心A(a,a),如图,那么22+22=2a2,解得a=±2,r2=2a2=8。所以圆C的方程是(x+2)2+(y+2)2=8或(x-2)2+(y-2)2=8.
答案(x+2)2+(y+2)2=8或(x-2)2+(y-2)2=8。
三、解答题
(1,12),B(7,10),C(-9,2)的圆的标准方程.
解 法一 设圆的一般方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0,
那么
解得D=-2,E=-4,F=-95,
∴所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0,
即圆的标准方程为:(x-1)2+(y-2)2=100。
法二 由A(1,12),B(7,10),得A、B的中点坐标为(4,11),
kAB=-,那么AB的中垂线方程为:3x-y-1=0。
同理得AC的中垂线方程为x+y-3=0,
联立得
即圆心坐标为(1,2),半径r==10.
∴所求圆的标准方程为:(x-1)2+(y-2)2=100.
+y2+(m-2)x+(m+1)y+m-2=0,根据以下条件确定实数m的取值,并写出相应的圆心坐标和半径.
(1)圆的面积最小;
(2)圆心间隔坐标原点最近.
解析(1)因为(m-2)2+(m+1)2-4(m-2)=2m2-6m+13=22+>0恒成立,无论m为何值,,圆的半径为r=。
圆的半径最小时,面积最小,
r==≥,
当且仅当m=时,等号成立,此时面积最小.
所以当圆的面积最小时,圆心坐标为,半径r=.
(2)圆心到坐标原点的间隔d=≥.当且仅当m=时,,圆心坐标为,半径r=。
,圆心在直线3x-y=0上,且被直线x-y=0截得的弦长为2的圆的方程.
解析 法一 设所求的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,
那么圆心(a,b)到直线x-y=0的间隔为,
∴r2=2+()2,
即2r2=(a-b)2+14,①
由于所求的圆和x轴相切,∴r2=b2.②
又因为所求圆心在直线3x-y=0上,
∴3a-b=0。③
联立①②③,解得
a=1,b=3,r2=9或a=-1,b=-3,r2=9。
故所求的圆的方程是
(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9.
法二 设所求的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,
圆心为,半径为。
令y=0,得x2+Dx+F=0,
由圆和x轴相切,得Δ=0,即D2=4F.
又圆心到直线x-y=0的间隔为.
由,得2+()2=r2,
即(D-E)2+56=2(D2+E2-4F)⑤
又圆心在直线3x-y=0上,
∴3D-E=0。⑥
联立④⑤⑥,解得
D=-2,E=-6,F=1或D=2,E=6,F=1。
故所求圆的方程是x2+y2-2x-6y+1=0,或x2+y2+2x+6y+1=0。
(-3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|。
(1)假设点P的轨迹为曲线C,求此曲线的方程;
(2)假设点Q在直线l1:x+y+3=0上,直线l2经过点Q且和曲线C只有一个公共点M,求|QM|的最小值.
思路分析 第(2)问画出曲线C及l1的图象,结合条件断定|QM|取最小值的情况.
解析 (1)设点P的坐标为(x,y),
那么=2。
化简可得(x-5)2+y2=16,此即为所求.
(2)曲线C是以点(5,0)为圆心,4为半径的圆,如图,
由直线l2是此圆的切线,连接CQ,
那么|QM|==,
当CQ⊥l1时,|CQ|取最小值,
|CQ|==4,
此时|QM|的最小值为=4。
【点评】解决有关圆的最值问题一般要“数”和“形"结合,:
(1)构建解析几何中的斜率、截距、间隔等模型研究最值问题;
(2)研究图形的形状、位置关系、性质等.