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初中数学经典相像三角形练****题附参照
初中数学经典相像三角形练****题附参照
经典练****题
相像三角形(附答案)
(共30小题)
,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.
,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.
1)求证:△CDF∽△BGF;
2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.
,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.
求证:△ABC∽△FDE.
,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.
:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.
1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;
2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其余条件不变,获取图②(1)中的两个结论能否依旧成立;
3)在(2)的条件下,请你在图②:△PBD∽△AMN.
,E是?ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,,请你写
出图中全部的相像三角形,并任选一对相像三角形恩赐证明.
,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的极点都在边长为1的小正方形的极点上.
(1)填空:∠ABC=_________°,BC=_________;
(2)判断△ABC与△DEC能否相像,并证明你的结论.
,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=,动点
度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s
M从A点出发沿AB方向以的速度向A点匀速运动,问:
1cm/s
的速
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(1)经过多少时间,△
AMN的面积等于矩形
ABCD面积的
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(2)能否存在时刻t,使以A,M,N为极点的三角形与△ACD相像若存在,求t的值;若不存在,请说
明原由.
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,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.
1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的全部可能状况,并求出采纳到的两个三角形是相像三角形的概率是多少;(注意:全等看作相像的特例)
2)请你任选一组相像三角形,并给出证明.
△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连接AE.
1)写出图中全部相等的线段,并加以证明;
2)图中有无相像三角形如有,请写出一对;若没有,请说明原由;
3)求△BEC与△BEA的面积之比.
,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P,
交AB于Q.
1)求四边形AQMP的周长;
2)写出图中的两对相像三角形(不需证明);
3)M位于BC的什么地址时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.
:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM∽△MCP.
,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.
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1)求梯形ABCD的面积S;
2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B?A?D?C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s
的速度,沿C?D?A方向,向点A运动,过点
Q作QE⊥、Q两点同时出发,当此中一点到达
目的地时整个运动随之结束,设运动时间为
:
①当点P在B?A上运动时,能否存在这样的
t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长均分若存在,央求出t
的值;若不存在,请说明原由;
②在运动过程中,能否存在这样的
t,使得以P、A、D为极点的三角形与△CQE相像若存在,央求出全部
吻合条件的t的值;若不存在,请说明原由;
③在运动过程中,能否存在这样的
t,使得以P、D、Q为极点的三角形恰好是以
DQ为一腰的等腰三角形
若存在,央求出全部吻合条件的
t的值;若不存在,请说明原由.
,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为极点的三角形与△BDC相像
,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度挪动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度挪动,假如P、Q分别从A、B同时出发,问经过几秒钟,△PBQ与△ABC相像.
,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=,这两个直角三角形相像.
,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,能否在边AB上找一点N(不含A、B),使得△CDM与△MAN相像若能,请给出证明,若不可以,请说明原由.
△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发,沿BC方向以2cm/s的速度挪动,点P从C出发,沿CA方向以1cm/、P分别同时从B、C出发,尝试究经过多少秒后,以点C、P、Q为极点的三角形与△CBA相像
,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确立点P的地址,使得以P,A,D为极点的三角形与以P,B,C为极点的三角形相像.
20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的极点E位于边BC的中点上.
1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△CNE;
2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除(1)中的一对相像三角形外,能否再找出一对相像三角形并证明你的结论.
,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度挪动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/、Q同时出发,用t(秒)表示挪动的时间,那么当t为什么值时,以点Q、A、P为极点的三角形与△ABC相像.
,路灯(P点)距地面8米,身高米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点,沿OA所在的
直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了变长或变短了多少米
,数学兴趣小组的同学们去丈量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下丈量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,,设计一种丈量方案.
(1)所需的丈量工具是:_________
;
(2)请在以下图中画出丈量表示图;
(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出
x.
,甲、乙、丙三个学****小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了
:
甲组:如图
1,测得一根直立于平川,长为
80cm的竹竿的影长为
60cm.
乙组:如图
2,测得学校旗杆的影长为900cm.
丙组:如图
3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽视不计)的高度为
200cm,影长
:
(1)请依据甲、乙两组获取的信息计算出学校旗杆的高度;
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(2)如图3,设太阳光辉NH与⊙、丙两组获取的信息,求景灯灯罩的半径.
(友
情提示:如图3,景灯的影长等于线段
NG的影长;需要时可采纳等式
2
2
2
156+208=260
)
,在地面上留下宽的亮区(以以下图)
,已知亮区到窗口下的墙脚距离
EC=,
窗口高AB=,求窗口底边离地面的高
BC.
,
AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离
OO′=m.
(1)若李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长;
(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(
DA+AC)是不是定值请说明原由;
(3)若李华在点A朝着影子(如图箭头)的方向以
v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上挪动的速度
v2.
①,分别以直角三角形
ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用
S1,S2,S3表示,则不难
证明S1=S2+S3.
(1)如图②,分别以直角三角形
ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用
S1,S2,S3表示,那么
S1,S2,S3之间有什么关系;(不用证明)
(2)如图③,分别以直角三角形
ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用
S1、S2、S3表示,请
你确立S1,S2,S3之间的关系并加以证明;
(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用
S1,S2,S3表示,为使S1,
S2,S3之间仍拥有与(2)同样的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;
(4)类比(1),(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.
:如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=.
:如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4.
1)求BD、CD的长;
2)过B作BE⊥DC于E,求BE的长.
30.(1)已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;
(2)已知:两相像三角形对应高的比为3:10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.
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参照答案与试题分析
(共30小题)
,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.
考点:相像三角形的判断;平行线的性质。
专题:证明题。
分析:依据平行线的性质可知∠AED=∠C,∠A=∠FEC,依据相像三角形的判判定理可知△ADE∽△EFC.
解答:证明:∵DE∥BC,
∴DE∥FC,
∴∠AED=∠C.
又∵EF∥AB,
EF∥AD,∴∠A=∠FEC.∴△ADE∽△EFC.
评论:此题观察的是平行线的性质及相像三角形的判判定理.
,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.
1)求证:△CDF∽△BGF;
2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,:相像三角形的判断;三角形中位线定理;梯形。
专题:几何综合题。
分析:(1)利用平行线的性质可证明△CDF∽△BGF.
2)依据点F是BC的中点这一已知条件,可得△CDF≌△BGF,则CD=BG,:(1)证明:∵梯形ABCD,AB∥CD,
∴∠CDF=∠FGB,∠DCF=∠GBF,(2分)∴△CDF∽△BGF.(3分)
2)解:由(1)△CDF∽△BGF,
又F是BC的中点,BF=FC,∴△CDF≌△BGF,
∴DF=GF,CD=BG,(6分)
∵AB∥DC∥EF,F为BC中点,∴E为AD中点,
∴EF是△DAG的中位线,∴2EF=AG=AB+BG.
∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2,∴CD=BG=2cm.(8分)
评论:此题主要观察了相像三角形的判判定理及性质,全等三角形的判断及线段的等量代换,比较复杂.
,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.
求证:△ABC∽△FDE.
考点:相像三角形的判断。
专题:证明题。
分析:由FD∥AB,FE∥AC,可知∠B=∠FDE,∠C=∠FED,依据三角形相像的判判定理可知:△ABC∽△FDE.
解答:证明:∵FD∥AB,FE∥AC,
∴∠B=∠FDE,∠C=∠FED,
∴△ABC∽△FDE.
评论:此题很简单,观察的是相像三角形的判判定理:
(1)假如两个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相像;
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2)假如一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比率,并且夹角相等,那么这两个三角形相像;
3)假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比率,那么这两个三角形相像.
,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.
考点:相像三角形的判断;矩形的性质。
专题:证明题。
分析:依据两角对应相等的两个三角形相像可解.
解答:证明:∵矩形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,(2分)
∴∠BAF=∠AED.(4分)
BF⊥AE,∴∠AFB=90°.
∴∠AFB=∠D.(5分)∴△ABF∽△EAD.(6分)
评论:观察相像三角形的判判定理,要点是找准对应的角.
:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.
1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;
2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其余条件不变,获取图②(1)中的两个结论能否依旧成立;
3)在(2)的条件下,请你在图②:△PBD∽△AMN.
考点:相像三角形的判断;全等三角形的判断;等腰三角形的判断;旋转的性质。
专题:几何综合题。
分析:(1)因为∠BAC=∠DAE,所以∠BAE=∠CAD,又因为AB=AC,AD=AE,利用SAS可证出△BAE≌△CAD,
可知BE、CD是对应边,依据全等三角形对应边上的中线相等,可证△AMN是等腰三角形.
(2)利用(1)中的证明方法依旧可以得出(1)中的结论,思路不变.
(3)先证出△ABM≌△ACN(SAS),可得出∠CAN=∠BAM,所以∠BAC=∠MAN(等角加等角和相等),又
∵∠BAC=∠DAE,所以∠MAN=∠DAE=∠BAC,所以△AMN,△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形,
所以∠PBD=∠AMN,所以△PBD∽△AMN(两个角对应相等,两三角形相像).
解答:(1)证明:①∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAE=∠CAD,
∵AB=AC,AD=AE,
∴△ABE≌△ACD,
∴BE=CD.
②由△ABE≌△ACD,得
∠ABE=∠ACD,BE=CD,
∵M、N分别是BE,CD的中点,
∴BM=CN.
又∵AB=AC,
∴△ABM≌△ACN.
∴AM=AN,即△AMN为等腰三角形.
2)解:(1)中的两个结论依旧成立.
3)证明:在图②中正确画出线段PD,由(1)同理可证△ABM≌△ACN,
∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN.
又∵∠BAC=∠DAE,∴∠MAN=∠DAE=∠BAC.
∴△AMN,△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形.
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∴△PBD和△AMN都为顶角相等的等腰三角形,
∴∠PBD=∠AMN,∠PDB=∠ANM,
∴△PBD∽△AMN.
评论:此题利用了全等三角形的判断和性质,以及等腰三角形一个顶角相等,则底角相等的性质,还有相像
三角形的判断(两个角对应相等的两个三角形相像).
,E是?ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,,请你写出图
中全部的相像三角形,并任选一对相像三角形恩赐证明.
考点:相像三角形的判断;平行四边形的性质。
专题:开放型。
分析:依据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相像这一判判定理可证明图中相像三角形有:
AEF∽△BEC;△AEF∽△DCF;△BEC∽△DCF.
解答:解:相像三角形有△AEF∽△BEC;△AEF∽△DCF;△BEC∽△DCF.(3分)
如:△AEF∽△BEC.
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在?ABCD中,AD∥BC,
∴∠1=∠B,∠2=∠3.(6分)
∴△AEF∽△BEC.(7分)
评论:观察了平行线的性质及相像三角形的判判定理.
,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的极点都在边长为
(1)填空:∠ABC=135°°,BC=;
1的小正方形的极点上.
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2)判断△ABC与△DEC能否相像,:相像三角形的判断;正方形的性质。
专题:证明题;网格型。
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分析:(1)观察可得:BF=FC=2,故∠FBC=45°;则∠ABC=135°,
BC==2;
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(2)观察可得:
BC、EC的长为
2
、
,可得
,再依据其夹角相等;故△
ABC∽△DEC.
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解答:解:(1)∠ABC=135°,
BC=
;
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(2)相像;
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∵BC=
,EC=
=;
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∴
,
;
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∴;
又∠ABC=∠CED=135°,
∴△ABC∽△DEC.
评论:,搞清楚矩形、菱形、
正方形中的三角形的三边关系,可有助于提升解题速度和正确率.
,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度
向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的
2)能否存在时刻t,使以A,M,N为极点的三角形与△ACD相像若存在,求t的值;若不存在,请说明原由.
考点:相像三角形的判断;一元二次方程的应用;分式方程的应用;正方形的性质。
专题:动点型。
分析:(1)关于动点问题,可设时间为x,依据速度表示出所涉及到的线段的长度,找到相等关系,列方程
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求解即可,如此题中利用,△AMN的面积等于矩形
ABCD面积的
作为相等关系;
(2)先假设相像,利用相像中的比率线段列出方程,有解的且吻合题意的
t值即可说明存在,反之
则不存在.
解答:
解:(1)设经过x秒后,△AMN的面积等于矩形
ABCD面积的
,
则有:(6﹣2x)x=×3×6,即x
2﹣3x+2=0,(2分)
解方程,得x1=1,x2=2,(3分)
经检验,可知x1=1,x2=2吻合题意,
所以经过1秒或2秒后,△AMN的面积等于矩形
ABCD面积的
.(4分)
2)假设经过t秒时,以A,M,N为极点的三角形与△ACD相像,由矩形ABCD,可得∠CDA=∠MAN=90°,
所以有
或
(5分)
即
①,或
②(6分)
解①,得t=
;解②,得t=
(7
分)
经检验,t=
或t=
都吻合题意,
所以动点M,N同时出发后,经过
秒或
秒时,以A,M,N为极点的三角形与△ACD相像.(8分)
评论:主要观察了相像三角形的判断,
正方形的性质和一元二次方程的运用以及解分式方程.
要掌握正方形
和相像三角形的性质,:一般关于动点问题,可设时间为
x,依据速度表示出
所涉及到的线段的长度,找到相等关系,列方程求解即可.
,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.
1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的全部可能状况,并求出采纳到的两个三角形是相像三角形的概率是多少;(注意:全等看作相像的特例)
2)请你任选一组相像三角形,并给出证明.
考点:相像三角形的判断;概率公式。
专题:开放型。
分析:(1)采纳列举法,列举出全部可能出现的状况,再找出相像三角形即可求得;①与③,②与④相像;
(2)利用相像三角形的判判定理即可证得.
解答:解:(1)任选两个三角形的全部可能状况以下六种状况:
①②,①③,①④,②③,②④,③④(2分)
此中有两组(①③,②④)是相像的.
∴采纳到的二个三角形是相像三角形的概率是P=(4分)
证明:(2)选择①、③证明.
在△AOB与△COD中,
∵AB∥CD,
∴∠CDB=∠DBA,∠DCA=∠CAB,
∴△AOB∽△COD(8分)
选择②、④证明.
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∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴∠DAB=∠CBA,
∴在△DAB与△CBA中有
AD=BC,∠DAB=∠CAB,AB=AB,
∴△DAB≌△CBA,(6分)
∴∠ADO=∠BCO.
又∠DOA=∠COB,
∴△DOA∽△COB(8分).
评论:此题观察概率的求法:假如一个事件有n种可能,并且这些事件的可能性同样,此中事件A出现m种
结果,那么事件A的概率P(A)=,.
:如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连接AE.
1)写出图中全部相等的线段,并加以证明;
2)图中有无相像三角形如有,请写出一对;若没有,请说明原由;
3)求△BEC与△BEA的面积之比.
考点:相像三角形的判断;三角形的面积;含30度角的直角三角形。
专题:综合题。
分析:(1)依据直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半,可知CD=2ED,则可写出相等的线段;
2)两角对应相等的两个三角形相像则可判断△ADE∽△AEC;
3)要求△BEC与△BEA的面积之比,从图中可看出两三角形有一公共边可作为底边,若求得高之比可知面积之比,由此需作△BEA的边BE边上的高即可求解.
解答:解:(1)AD=DE,AE=CE.
∵CE⊥BD,∠BDC=60°,
∴在Rt△CED中,∠ECD=30°.
CD=2ED.∵CD=2DA,
AD=DE,
∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD.
AE=CE.
2)图中有三角形相像,△ADE∽△AEC;
∵∠CAE=∠CAE,∠ADE=∠AEC,∴△ADE∽△AEC;
3)作AF⊥BD的延长线于F,
设AD=DE=x,在Rt△CED中,
可得CE=,故AE=.
ECD=30°.
在Rt△AEF中,AE=,∠AED=∠DAE=30°,
sin∠AEF=,
∴AF=AE?sin∠AEF=.
∴.
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评论:此题主要观察了直角三角形的性质,相像三角形的判断及三角形面积的求法等,范围较广.
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,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交
AB于Q.
AC于P,交
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1)求四边形AQMP的周长;
2)写出图中的两对相像三角形(不需证明);
3)M位于BC的什么地址时,:相像三角形的判断;菱形的判断。
专题:综合题。
分析:(1)依据平行四边形的性质可获取对应角相等对应边相等,从而不难求得其周长;
2)因为∠B=∠C=∠PMC=∠QMB,所以△PMC∽△QMB∽△ABC;
初中数学经典相像三角形练****题附参照
初中数学经典相像三角形练****题附参照
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(3)依据中位线的性质及菱形的判断不难求得四边形AQMP为菱形.
解答:解:(1)∵AB∥MP,QM∥AC,
∴四边形APMQ是平行四边形,∠B=∠PMC,∠C=∠QMB.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
初中数学经典相像三角形练****题附参照
初中数学经典相像三角形练****题附参照
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∴∠PMC=∠QMB.
∴BQ=QM,PM=PC.
∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a.
2)∵PM∥AB,∴△PCM∽△ACB,∵QM∥AC,
∴△BMQ∽△BCA;
3)当点M中BC的中点时,四边形APMQ是菱形,∵点M是BC的中点,AB∥MP,QM∥AC,
∴QM,PM是三角形ABC的中位线.∵AB=AC,
∴QM=PM=AB=AC.
又由(1)知四边形APMQ是平行四边形,
∴平行四边形APMQ是菱形.
评论:此题主要观察了平行四边形的判断和性质,中位线的性质,菱形的判断等知识点的综合运用.
:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM∽△MCP.
考点:相像三角形的判断;正方形的性质。
专题:证明题。
分析:欲证△ADM∽△MCP,经过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等,即∠D=∠C,此时,再求夹
此对应角的两边对应成比率即可.
解答:证明:∵正方形ABCD,M为CD中点,
∴CM=MD=AD.
BP=3PC,
PC=BC=AD=CM.
∴.
∵∠PCM=∠ADM=90°,
∴△MCP∽△ADM.
评论:,除了要掌握定义外,还要注意正确找出两三角形的
初中数学经典相像三角形练****题附参照
初中数学经典相像三角形练****题附参照
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对应边、对应角,可利用数形结合思想依据图形供给的数据计算对应角的度数、.