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九年级数学下册知识点归纳
第一章直角三角形边的关系
:
定义:在Rt△ABC中,锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A
的正切,记作tanA,
..
的对边
A
即tanA
的邻边;
A
①tanA
是一个完好的符号,它表示∠A
的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”;
②tanA
没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A
的对边与邻边的比;
③tanA
不表示“tan”乘以“A”;
④初中阶段,我们只学习直角三角形中,∠A
是锐角的正切;
⑤tanA
的值越大,梯子越陡,∠A越大;∠A越大,梯子越陡,tanA的值越大。
正弦:
..
定义:在Rt△ABC中,锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A
的正弦,记作sinA,即sinA
A的对边;
斜边
:
定义:在Rt△ABC中,锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A
的余弦,记作cosA,即cosA
A的邻边;
斜边
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A
的三角函数当锐角
A变化时,相应的正弦、余弦和正切之也随
之变化。
30o
45o
60o
B
sinα
1
2
3
i=h:l
2
2
2
h
3
2
1
cosα
2
2
2
C
A
图
tanα
3
1
1
l
3
图2
3
:当从低处察看高处的目标时,视野与水平线所成的锐角称为仰角
..
:当从高处察看低处的目标时,视野与水平线所成的锐角称为俯角
..
:利用特别角的三角函数值表,可以看出,(1)当角度在0°~90°间变化时,正弦值、正切值
跟着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值跟着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sinα≤1,0≤cosα≤1。
....
....
:如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度(或坡比)。用字母i表示,即
.............
i
h
tanA
l
:从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方向角
...。如图3,OA、OB、OC
的方向角分别为45°、135°、225°。
方向角:指北或指南方向线与目标方向线
如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是;南偏西为60°,北偏西60°。
同角的三角函数间的关系:
所成的小于90°的水平角,叫做方向角。
...
北偏东30°,南偏东45°(东南方向)、
①互余关系sinA=cos(90°-A)、cosA=sin(90°-A)
图3
图4
②平方关系:③商数关系:
解直角三角形:在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和二个锐角。由直角三
角形中除直角外的已知元素,求出全部未知元素的过程,叫做解直角三角形(须知一条边)。
直角三角形变焦关系:
在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,则有
三边之间的关系:a2+b2=c2;
两锐角的关系:∠A+∠B=90°;
边与角之间的关系:
sinA
a
cosA
b
tanA
a
cotA
b
,
,
,
;
c
c
b
a
sinB
b,
cosB
a,
tanB
b,
cotB
a;
c
c
a
b
(4)面积公式:S
1ab
1chc(hc为C边上的高);
2
2
(5)直角三角形的内切圆半径
a
b
c
r
2
直角三角形的外接圆半径
三角函数的应用
利用三角函数测高
1c
2
....
....
第二章二次函数
:一般地,若两个变量x,y之间对应关系可以表示成yax2bxc(a、b、c是常数,a
0)的形式,则称y是x的二次函数。自变量x的取值范围是全体实数。在写二次函数的关系式
....
时,必定要找寻两个变量之间的等量关系,列出相应的函数关系式,并确立自变量的取值范围。
........
:
(1)二次函数
2
的图象:是一条极点在原点且关于
y轴对称的抛物线。
2
y=ax
yax(a
0)是二次
...
函数yax2
bx
c的特例,此经常数b=c=0.
2)抛物线的描述:张口方向、对称性、y随x的变化状况、抛物线的最高(或最低)点、抛物线与x轴的交点。
①函数的取值范围是全体实数;
②抛物线的极点在(0,0),对称轴是y轴(或称直线x=0)。
③当a>0时,抛物线张口向上,而且向上方无穷伸展。当a<0时,抛物线张口向下,而且向下方
无穷伸展。
④函数的增减性:
A、当a>0时x0时,y随x增大而减小
0时,y随x增大而增大
B、当a<0时x0时,y随x增大而增大
0时,y随x增大而减小
;
.
;
.
⑤当|a|越大,抛物线张口越小;当|
a|越小,抛物线的张口越大。
⑥最大值或最小值:当
a>0,且x=0时函数有最小值,最小值是
0;当a<0,且x=0时函数有最
大值,最大值是
0。
(3)二次函数
yax2
c的图象:是一条极点在y轴上且与y轴对称的抛物线,二次函数
yax2
c的图象中,a的符号决定抛物线的张口方向,
|a|决定抛物线的张口程度大小,
c决定
抛物线的极点地点,即抛物线地点的高低。
(4)二次函数yax2
bx
c的图象:是以直线x
b
为对称轴,极点坐标为(
b
,4acb2
)
2a
2a
4a
的抛物线。(张口方向和大小由
a来决定)
....
....
|a|的越大,抛物线的张口程度越小,越凑近对称轴y轴,y随x增加(或降落)速度越快;
|a|的越小,抛物线的张口程度越大,越远离对称轴y轴,y随x增加(或降落)速度越慢。
(5)二次函数yax2bxc的图象与y=ax2的图象的关系:
ax2bxc的图象可以由y=ax2的图象平移获得:(利用极点坐标)
(6)二次函数
y
(
)
2
k的图象:是以直线x=h
为对称轴,极点坐标为(
h,k)的抛物线。
ax
h
(张口方向和大小由
a来决定)
(7)二次函数y
ax2
bx
c的性质:
二次函数yax2
bx
c配方成ya(x
b)2
4ac
b2
则抛物线的
2a
4a
b
①对称轴:x=
2a
②极点坐标:(
b,4ac
b2
)
2a
4a
③增减性:若
a>0,当x<
b时,y随x的增大而减小
;当x>
b
2a
.....
2a
时,y随x的增大而增大。
......
b
若a<0,则当x<
2a
b
时,y随x的增大而增大;当x>
.....
2a
时,y随x的增大而减小。
......
④最值:若a>0,则当x=
b时,y最小
4acb
2
b
4acb2
;若a<0,则当x=
时,y最大
2a
4a
2a
4a
确立二次函数的表达式:(待定系数法)
1)一般式:
2)极点式:
yax2bxc
ya(xh)2k
2)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)
:几何方面
应用题
二次函数与一元二次方程
(1)二次函数yax2bxc的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1,x2是对应一
二次方程ax2bxc0的两个实数根
(2)抛物线与x轴的交点状况可以由对应的一元二次方程的根的鉴识式判断:
b24ac>0<===>抛物线与x轴有2个交点;
b24ac=0<===>抛物线与x轴有1个交点;
b24ac<0<===>抛物线与x轴有0个交点(无交点);
....
....
(3)当b2
4ac>0时,设抛物线与x轴的两个交点为A、B,则这两个点之间的距离:
化简后即为:
|AB|
b2
4ac(b2
4ac0)这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。
|a|
第三章圆
:
描述性定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形
成的圆形叫做圆;固定的端点O叫做圆心;线段OA叫做半径;以点O为圆心的圆,记作⊙O,读作
.....
“圆O”
会集性定义:圆是平面内到定点距离等于定长的点的会集。此中定点叫做圆心,定长叫做圆的半径,
......
圆心定圆的地点,半径定圆的大小,圆心和半径确立的圆叫做定圆..。
对圆的定义的理解:①圆是一条封闭曲线,不是圆面;
②圆由两个条件独一确立:一是圆心(即定点),二是半径(即定长)。
点与圆的地点关系及其数目特色:
假如圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则①点在圆上<===>d=r;
②点在圆内<===>d<r;
③点在圆外<===>d>r.
此中点在圆上的数目特色是要点,它可用来证明若干个点共圆,方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。
:
1)与圆相关的看法:
①弦和直径:弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦.。直径:经过圆心的弦叫做直径..。
②弧、半圆、优弧、劣弧:弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧..,简称弧.,用符号“⌒”表示,以
CD为端点的弧记为“”,读作“圆弧CD”或“弧
....
....
CD”。半圆:直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆..。优弧:大于半圆的弧叫做优弧..。劣
弧:小于半圆的弧叫做劣弧..。(为了差别优弧和劣弧,优弧用三个字母表示。)
③弓形:弦及所对的弧构成的图形叫做弓形..。
④齐心圆:圆心同样,半径不等的两个圆叫做齐心圆。
...
⑤等圆:可以完好重合的两个圆叫做等圆,半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧:在同圆或等圆中,可以相互重合的弧叫做等弧..。
⑦圆心角:极点在圆心的角叫做圆心角.
...
⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.
...
2)圆是轴对称图形,直径所在的直线是它的对称轴,圆有无数条对称轴。圆是中心对称图形,对称中心为圆心。
定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论:在同圆或等圆中,假如两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么
它们所对应的其余各组量都分别相等.
:垂直于弦的直径均分这条弦,而且均分弦所对的两条弧。
推论:均分一般弦(不是直径)的直径垂直于弦,而且均分弦所对的两条弧。
说明:依据垂径定理与推论可知关于一个圆和一条直线来说,假如具备:
①圆心;②垂直于弦;③均分弦;④均分弦所对的优弧;⑤均分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其余三个结论。
:
(1)圆周角::极点在圆上,而且两边都与圆订交的角,叫做圆周角.
(2)圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的的圆心角度数的一半.
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2:直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径;
(3)圆内接四边形:若四边形的四个极点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形.
圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补;
6确立圆的条件:
(1)理解确立一个圆必备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的地点,
可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直均分线上.
2)经过三点作圆要分两种状况:
经过同向来线上的三点不可以作圆.
经过不在同向来线上的三点,能且仅能作一个圆.
定理:不在同向来线上的三个点确立一个圆.(尺规作图)
三角形的外接圆、三角形的外心。
(1)
三角形的外接圆
:
经过一个三角形三个极点的圆叫做这个三角形的外接圆
.
(2)
三角形的外心:
三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.
(3)
三角形的外心的性质
:三角形外心到三极点的距离相等.
直线与圆的地点关系
订交:直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆订交,这时直线叫做圆的割线.
相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点做切
点.
相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.
....
....
(4)直线与圆的地点关系的数目特色:
设⊙O的半径为r,圆心O到直线的距离为d;①d<r<===>直线L和⊙O订交.
②d=r<===>直线L和⊙O相切.
③d>r<===>直线L和⊙O相离.
(5)切线的判判定理:经过半径的外端而且垂直于半径的直线是圆的切线.
切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.
推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
解析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得以下结论:
假如一条直线具备以下三个条件中的任意两个,即可推出第三个.
①垂直于切线;②过切点;③过圆心.
(6)三角形的内切圆、心里.
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的心里.
三角形心里的性质:三角形的心里到三边的距离相等.(三角形的内切圆作法尺规作图)
切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线长想等,圆外切四边形对边相等,直角三角形内切圆半径公式.
圆内接正多边形
(1)
定义:极点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形,这个圆叫做该正多边形的外接圆
.
(2)
中心角、边心距:中心角是正多边形相邻两对角线所夹的角,
边心距是正多边形的边到圆心的距
离.
弧长及扇形的面积
nR
(1)
弧长公式:弧长l
(R表示圆的半径,n表示弧所对的圆心角的度数)
180
(2)
扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所构成的图形叫做扇形
.
(3)
扇形的面积公式:扇形的面积S扇形
nR2
表示弧所对的圆心角的度数)
(R表示圆的半径,n
360
扇形的面积S扇形=LR/2
与圆相关的辅助线
如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.(圆心向弦作垂线)
如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.(直径添线成直角)
若条件交代了某点是切点时,连接圆心和切点是最常用的辅助线.(切点圆心要相连)
....