高中数学 二次函数基础知识梳理.pdf

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二次函数基础知识梳理
一、二次函数概念:
:一般地,形如yaxbxc2(abc,,是常数,a0)的函
数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数
a0,而bc,.
2的结构特征:
⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.
⑵abc,,是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.
二、二次函数的基本形式
:yax2的性质:
a的绝对值越大,抛物线的开口越小。:.
开口方顶点坐对称
a的符号性质
向标轴
x0时,y随x的增大而增大;x0时,
a0向上0,0y轴y随x的增大而减小;x0时,y有最小
值0.
x0时,y随x的增大而减小;x0时,
a0向下0,0y轴y随x的增大而增大;x0时,y有最大
:.
ax2c的性质:
上加下减。
开口方顶点坐对称
a的符号性质
向标轴
x0时,y随x的增大而增大;x0时,
a0向上0,cy轴y随x的增大而减小;x0时,y有最小
值c.
x0时,y随x的增大而减小;x0时,
a0向下0,cy轴y随x的增大而增大;x0时,y有最大
值c.
2
axh的性质:
左加右减。
开口方顶点坐对称
a的符号性质
向标轴
a0向上h,0X=hxh时,y随x的增大而增大;xh时,:.
y随x的增大而减小;xh时,y有最小
值0.
xh时,y随x的增大而减小;xh时,
a0向下h,0X=hy随x的增大而增大;xh时,y有最大
值0.
2
的性质:
开口方顶点坐对称
a的符号性质
向标轴
xh时,y随x的增大而增大;xh时,
a0向上hk,X=hy随x的增大而减小;xh时,y有最小
:.
xh时,y随x的增大而减小;xh时,
a0向下h,kX=hy随x的增大而增大;xh时,y有最大
值k.
三、二次函数图象的平移
:
2
方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk,确定其顶点坐标
h,k;
⑵保持抛物线yax2的形状不变,将其顶点平移到h,k处,具体平移方法
如下::.

在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.
方法二:
22
⑴yaxbxc沿y轴平移:向上(下)平移m个单位,yaxbxc变成
22
yaxbxcm(或yaxbxcm)
⑵yax2bxc沿x轴平移:向左(右)平移m个单位,yax2bxc变成
ya(xm)2b(xm)c(或ya(xm)2b(xm)c)
22
四、二次函数yaxhk与yaxbxc的比较
22
从解析式上看,yaxhk与yaxbxc是两种不同的表达形式,后者
222
b4acbb4acb
通过配方可以得到前者,即yax,其中h,k.
2a4a2a4a
五、二次函数yax2bxc图象的画法
五点绘图法:利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k,
确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点:.
:顶点、与y轴的交点0,c、以及0,c关于
对称轴对称的点2h,c、与x轴的交点x1,0,x2,0(若与x轴没有交点,
则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y
轴的交点.
六、二次函数yax2bxc的性质
b
0时,抛物线开口向上,对称轴为x,顶点坐标为
2a
b4acb2
,.
2a4a
bb
当x时,y随x的增大而减小;当x时,y随x的增大而增大;当
2a2a
b4acb2
x时,y有最小值.
2a4a
b
0时,抛物线开口向下,对称轴为x,顶点坐标为
2a
b4acb2bb
,.当x时,y随x的增大而增大;当x时,y随x的增
2a4a2a2a
b4acb2
大而减小;当x时,y有最大值.
2a4a
七、二次函数解析式的表示方法
:yax2bxc(a,b,c为常数,a0);
:ya(xh)2k(a,h,k为常数,a0);
:ya(xx1)(xx2)(a0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐
标).
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函
数都可以写成交点式,只有抛物线与x轴有交点,即b24ac0时,抛物线
:.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
九二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,
二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,
般来说,有如下几种情况:
,一般选用一般式;
(小)值,一般选用顶点式;
,一般选用两根式;
,常选用顶点式.
十、二次函数图象的对称
十一、二次函数与一元二次方程:
(二次函数与x轴交点情况):
一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊
情况.
图象与x轴的交点个数:
①当b24ac0时,图象与x轴交于两点Ax,0,Bx,0(xx),其中的
1212
x,x是一元二次方程ax2bxc0a
12
b24ac
ABx2x1.
a
②当0时,图象与x轴只有一个交点;
③当0时,:.
1'当a0时,图象落在x轴的上方,无论x为任何实数,都有y0;
2'当a0时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有y0.
ax2bxc的图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
:
⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶
点式;
⑶根据图象的位置判断二次函数yax2bxc中a,b,c的符号,或由二次
函数中a,b,c的符号判断图象的位置,要数形结合;
⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点
坐标,或已知与x轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
十二、二次函数的应用
,下列函数一定是二次函数的是()
=(m-1)=(m+1)=(m2+1)=(m2-1)x2
=(m+1)x2有最大值,:.
12
=-5x的对称轴为_______,顶点坐标为______.
2
a(x1)(x3)(a0)的对称轴是直线()
3
22
mx(mm)x2的图象关于y轴对称,则m=________;
12
x3+5,顶点坐标是,当x时,y随x的增大而
2
减小,函数有最值.
=x2-2x-3的函数值y<0,则x的取值范围为______.
=ax2+bx+c(a≠0),其中a、b、c满足a-b+c=0和9a+
3b+c=0,则该二次函数的对称轴为直线_______.
3x26x5的图象的顶点坐标是( )
A.(1,8)B.(1,8)C.(1,2)
D.(1,4)
=8x2+2mx+m-2的顶点在x轴上,则顶点坐标是():.
A.(4,0) .(0,)
,二次函数y=-x2+6x+c的函数值总为负数,则c的取值范围
为.
、y都是正实数,且满足4x2+4xy+y2+2x+y-6=0,则x(1-y)
的最小值为.
x2(x≤2)
=m(m为常数)与函数y=4的图像恒有三个不同的交
{(x>2))
x
点,则常数m的取值范围是___________。
=(a-2)x2+4x-1与x轴有交点,则a的取值范围是
()
>-2 >-2且a≠≥-2 ≥-2且a≠2
mxxy的图像与x轴没有公共点,则m的取值范围是
______________。
213
=x-2x+k的图象经过点(,y1),(,y2),则y1与y2的大小
22
关系为()
>=<:.
=-x2+6x-12经过平移得到y=-x2,则平移方法是()
,再向下平移3个单位长度
,再向上平移3个单位长度
,再向下平移3个单位长度
,再向上平移3个单位长度
=ax2+bx+c的图象如图所示,则以下结论:①a+b+c<0;②
a—b+c>1;③abc>0;④4a—2b+c<0;⑤c—a>1,其中正确结论的序号是
()
A.①②B.①③④
C.①②③⑤D.①②③④⑤
=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(一2,0)、(x,0),且
1<x1<2,与y轴正半轴的交点在(0,2):①4a-2b+c=0;②
a<b<0;③2a+c>0;④2a-6+1>.
=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(-1,2),且与x轴交点的横坐标分
别为x1,x2,其中-2<x1<-1,0<x2<1,(a<0,顶点在第二象限)下列结论:
①4a-2b+c<0;②2a-b<0;③a<-1;④b2+8a>:.
其中正确的有()

,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴
交于点C,且OA=OC,则下列结论:①abc<0;②;③ac﹣b+1=0;④
OA•OB=﹣.其中正确结论的序号是______.
=ax2+bx+c的图象经过点(﹣2,y1),(﹣1,y2),
(1,0),且y1<0<y2,对于以下结论:①abc>0;②a+3b+2c≤0;③对于自变量
x的任意一个取值,都有x2+x≥﹣;④在﹣2<x<﹣1中存在一个实数x,
0
使得x0=﹣,其中结论错误的是______(只填写序号).
=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣3,0),对称轴
为直线x=﹣1,给出以下结论:
①abc<0
②b2﹣4ac>0
③4b+c<0:.
④若B(﹣,y1)、C(﹣,y2)为函数图象上的两点,则y1>y2
⑤当﹣3≤x≤1时,y≥0,
其中正确的结论是(填写代表正确结论的序号)______.
ax2bxc(a0)的图象如图所示,下列结论:
①abc0;②2ab0;③4acb20;④3ac0;⑤abam2bm(m
为不等于1的任意实数);
⑥若ax2bxax2bx,且xx,则xx2.
11221212
其中正确结论的序号为.
=ax2+bx+c(a≠0)中,函数值y与自变量x的部分对应值
如下表:
x…-5-4-3-2-1…
y…3-2-5-6-5…:.
则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-2的根是.
=kx+m(k≠0)和二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的自变量和
对应函数值如表:
x…﹣1024…
y1…0135…
x…﹣1134…
y2…0﹣405…
当y2>y1时,自变量x的取值范围是( )
<﹣>4C.﹣1<x<<﹣1或x>4
=ax2+x+1(a为常数).
(1)若函数的图象与x轴恰好有一个交点,求a的值.
(2)若函数的图象是抛物线,且顶点始终在x轴上方,:.
2
3x29.
(1)确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(2)当x=时,抛物线有最值,是.
(3)当x时,y随x的增大而增大;当x时,y随x的增大而
减小.
(4)求出该抛物线与x轴的交点坐标及两交点间距离;
(5)求出该抛物线与y轴的交点坐标;
2
(6)该函数图象可由y3x的图象经过怎样的平移得到的?
12
,抛物线y=x-x+a与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,其顶点
2
在直线y=-2x上.
(1)求a的值;
(2)求A,B的坐标;
(3)以AC,CB为一组邻边作□ABCD,则点D关于x轴的对称点D′是否在该:.
抛物线上?请说明理由.
AOB
C:.
x2bxc与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,O是坐标
原点,点A的坐标是(-l,0),点C的坐标是(0,-3).在第四象限内的抛物线上
有一动点D,过D作DEx轴,垂足为E,
m.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)连接AC,AF,若ACBFAB,求点F的坐标;
(3)在直线DE上作点H,使点H与点D关于点F对称,以H为圆心,HD
为半径作⊙H,当⊙H与其中一条坐标轴相切时,求m的值.