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考研数学二试题及答案解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题及答案解析
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
(1)函数的可去间断点的个数为
1 23 无穷多个【答案】
【解析】由于,则当取任何整数时,均无意义.
故的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是的解
.
故可去间断点为3个,即.
(2)当时,与是等价无穷小,则
【答案】
【解析】
,故排除.
另外,存在,蕴含了,故排除.
所以本题选.
(3)设函数的全微分为,则点
不是的连续点不是的极值点
是的极大值点是的极小值点【答案】
【解析】因可得.
,
又在处,,,
故为函数的一个极小值点.
(4)设函数连续,则
【答案】
【解析】的积分区域为两部分:
,,
将其写成一块,
故二重积分可以表示为,故答案为.
(5)若不变号,且曲线在点上的曲率圆为,则函数在区间内
有极值点,无零点无极值点,有零点
有极值点,有零点无极值点,无零点【答案】
【解析】由题意可知,是一个凸函数,即,且在点处的曲率
,而,由此可得,.
在上,,即单调减少,没有极值点.
对于,(拉格朗日中值定理)
而,由零点定理知,在上,.
(6)设函数在区间上的图形为:
则函数的图形为
【答案】
【解析】此题为定积分的应用知识考核,由的图形可见,其图像与轴及轴、所围的图形的代数面积为所求函数,从而可得出几个方面的特征:
①时,,且单调递减。
②时,单调递增。
③时,为常函数。
④时,为线性函数,单调递增。
⑤由于F(x)为连续函数
结合这些特点,可见正确选项为。
(7)设均为2阶矩阵,分别为的伴随矩阵,若,则分块矩阵的伴随矩阵为
. .
. .【答案】B
【解析】根据若
分块矩阵的行列式即分块矩阵可逆
(8)设均为3阶矩阵,为的转置矩阵,且,若,则为
. .
. .【答案】A
【解析】,即:
二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)曲线在处的切线方程为
【答案】
【解析】
所以
所以切线方程为
(10)已知,则【答案】
【解析】
因为极限存在所以
(11)【答案】0
【解析】令
所以
即
(12)设是由方程确定的隐函数,则【答案】
【解析】对方程两边关于求导有,得
对再次求导可得,
得
当时,,,代入得
(13)函数在区间上的最小值为【答案】
【解析】因为,令得驻点为。
又,得,
故为的极小值点,此时,
又当时,;时,,故在上递减,在上递增。
而,,
所以在区间上的最小值为。
(14)设为3维列向量,为的转置,若矩阵相似于,则
【答案】
【解析】因为相似于,根据相似矩阵有相同的特征值,得到的特征值是,而是一个常数,是矩阵的对角元素之和,则。
三、解答题:15-23小题,、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分9分)求极限
【解析】
(16)(本题满分10分)
计算不定积分
【解析】方法一:令得
方法二:
即
(17)(本题满分10分)设,其中具有2阶连续偏导数,求与
【解析】
(18)(本题满分10分)设非负函数满足微分方程,当曲线过原点时,其与直线及围成平面区域的面积为2,求绕轴旋转所得旋转体体积。
【解析】微分方程得其通解为任意常数
令,则,微分方程变形为
得到其中为任意常数
即得到其中为任意常数
又因为通过原点时与直线及围成平面区域的面积为2,于是可得
从而
于是,所求非负函数
又由可得,在第一象限曲线表示为
于是D围绕轴旋转所得旋转体的体积为,其中
(19)(本题满分10分)
求二重积分,其中。
【解析】由得,
(20)(本题满分12分)
设是区间内过的光滑曲线,当时,曲线上任一点处的法线都过原点,当时,函数满足。求的表达式
【解析】由题意,当时,,即,得,
又代入得,从而有
当时,得的通解为
令解为,则有,得,
故,得的通解为
由于是内的光滑曲线,故在处连续
于是由,故时,在处连续
又当时,有,得,
当时,有,得
由得,即
故的表达式为或
,又过点,
所以。
(21)(本题满分11分)
(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数在上连续,在可导,则存在,使得
(Ⅱ)证明:若函数在处连续,在内可导,且,则存在,且。
【解析】(Ⅰ)作辅助函数,易验证满足:
;在闭区间上连续,在开区间内可导,且。
根据罗尔定理,可得在内至少有一点,使,即
(Ⅱ)任取,则函数满足;
在闭区间上连续,开区间内可导,从而有拉格朗日中值定理可得:存在,使得……
又由于,对上式(*式)两边取时的极限可得:
故存在,且。
(22)(本题满分11分)设,
(Ⅰ)求满足的所有向量
(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任一向量,证明:线性无关。
【解析】(Ⅰ)解方程
故有一个自由变量,令,由解得,
求特解,令,得
故,其中为任意常数
解方程
故有两个自由变量,令,由得