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高等数学下试题及答案
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高等数学(II)试题(A)
一填空(每小题3分共15分)
1曲面在点的切平面的方程为___________。
2设隐函数是由方程确定的,则。
3设是平面在第一卦限部分,则。
4设周期为,且,是的Fourier级数的和函数,则______________。
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5设幂级数在处条件收敛,则幂级数的收敛半径。
二选择(每小题2分共10分)
1设D是平面区域,则下面说法正确的是()
(A)若在D上可微,则的一阶偏导在D上一定连续;
(B)若在D上一阶偏导存在,则在D上一定可微;
(C)若在D上一阶偏导存在,则在D上一定连续;
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(D)若在D上与均连续,则。
2下列级数中绝对收敛的级数是()
(A);(B);
(C);(D)。
3直线过点且与直线垂直相交,则交点的坐标是()
(A);(B);(C);(D)。
4方程表示。
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(A)单叶双曲面;(B)双叶双曲面;(C)锥面;(D)旋转抛物面。
5一阶微分方程的类型是()
(A)全微分方程;(B)可分离变量方程;(C)齐次方程;(D)一阶线性微分方程。
三(6分)设是具有二阶连续导数的函数,,求。
四(7分)计算,其中是直线及双曲线所围区域。
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五(7分)修建一个容积为V的长方体地下仓库,已知仓顶和墙壁每单位面积造价分别是地面每单位面积造价的3倍和2倍,问如何设计仓库的长、宽和高,可使它的造价最小。
六(7分)求微分方程的通解。
七(7分)计算,其中是由曲面及所围的空间区域。
八(7分)求,其中L是曲线,取逆时针方向。
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九(7分)计算曲面积分,其中是锥面介于之间的部分,而是在处的外法线向量的方向余弦。
十(7分)已知如下命题成立:设是单调减少的正数列,级数收敛当且仅当收敛。
1)请用此命题证明当时发散,而当时收敛;
2)证明所给的命题。
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答案
一填空(每小题3分共15分)
1;2;3;4;5。
二选择(每小题2分共10分)DABDC
三(6分)解……………………………4
………………………….2
四(7分)解。………………2
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………………………………………2
……………………………………………2
……………………………………………………………1
五(7分)解设地面每个单位造价为1,则墙壁和仓顶分别为2,3。设长宽高分别为。则现在的要求是在约束下的极值。……………………………………………………………1
考虑,……………………..1
则条件极值点满足一下方程
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…………………………………………………..3
由上述方程组可解得
根据实际情况可知,此时造价最小。………………………………………2
六(7分)解特征方程为
对应的齐次方程的通解为…………………………..2
不是特征根,于是可设特解为
…………………………….2