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第二十六章反比率函数
k
一般地,形如y(k为常数,k0)的函数称为反比率函数,它能够从以下几个
x
方面来理解:
⑴x是自变量,y是x的反比率函数;
⑵自变量x的取值范围是x0的一确实数,函数值的取值范围是y0;
⑶比率系数k0是反比率函数定义的一个重要构成部分;
⑷反比率函数有三种表达式:
k
①y(k0),
x
②y
kx
1(k
0),
③x
y
k(定值)(k0
);
⑸函数y
k
0)与x
k
(k
(k0)是等价的,所以当y是x的反比率函数时,
x
y
x也是y的反比率函数。
(k为常数,k0)是反比率函数的一部分,当
k=0时,y
k
,就不是反比率函数
x
了。
因为反比率函数y
k
0)中,只有一个待定系数,所以,只需一组对应值,就
(k
x
能够求出k的值,进而确立反比率函数的表达式。
反比率函数的图像是双曲线,
它有两个分支,这两个分支分别位于第一、
第三象限或第
二、第四象限,它们与原点对称,因为反比率函数中自变量函数中自变量
x
0,函数值
0,所以它的图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无穷凑近坐标轴,但
永久达不到坐标轴。
反比率的画法分三个步骤:⑴列表;⑵描点;⑶连线。
再作反比率函数的图像时应注意以下几点:
①列表时选用的数值宜对称选用;
②列表时选用的数值越多,画的图像越精准;
③连线时,一定依据自变量大小从左至右(或从右至左)用圆滑的曲线连结,切忌画成折线;
④绘图像时,它的两个分支应所有画出,但切忌将图像与坐标轴订交。
☆对于反比率函数的性质,主要研究它的图像的地点及函数值的增减状况,以下表:
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反比率函数
y
k(k
0)
x
k的符号
k0
k0
图像
①x的取值范围是①x的取值范围是
x0,y的取值范围是x0,y的取值范围是
y0y0
性质②当k0时,函数②当k0时,函数
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图像的两个分支分别在
第一、第三象限,在每
个象限内,y随x的增大
而减小。
图像的两个分支分别在
第二、第四象限,在每
个象限内,y随x的增大
而增大。
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注意:描绘函数值的增减状况时,一定指出“在每个象限内”不然,抽象地说,当
0时,y随x的增大而减小“,就会与事实不符的矛盾。
反比率函数图像的地点和函数的增减性,
是有反比率函数系数k的符号决定的,反过来,
由反比率函数图像(双曲线)的地点和函数的增减性,也能够推测出
k的符号。如y
k在
k
0
x
第一、第三象限,则可知
。
☆反比率函数y
k(k
0)中比率系数k的绝对值k的几何意义。
x
P(x,y)分别作x轴、y轴的垂线,E、F分别为
以下图,过双曲线上任一点
垂足,则kxy
x
y
PF
PE
S矩形OEPF
☆
反比率函数y
k(k
0)中,k越大,双曲线y
k越远离坐标原点;
k
k
x
x
越小,双曲线y
越凑近坐标原点。
x
☆
双曲线是中心对称图形,
对称中心是坐标原点;双曲线又是轴对称图形,
对称
轴是直线
y=x和直线y=-x。
习题
,不是反比率函数的是( )
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-3
1
=-x
=2x
=x-1
=2
k
P(-1,4)在反比率函数
y=x(k≠0)的图象上,则
k的值是( )
1
1
A.-4
.-4
(2,2)和Q(m,)是反比率函数图象上的两点,
则一次函数y=kx+m的图象经过().
、二、、二、四象限
、三、、三、四象限
(k≠0),它们在同一坐标系内的图象大概是().
A.
B.
C.
D.
a
在同一坐标系中的图象可能是( )
≠0时,函数y=ax+1
与函数y=x
2
1
-1-10,直线x=t(t>0)与反比率函数
y=x,y=-x的图象分别交于
B,C两点,
A为y轴上的随意一点,则△ABC的面积为(
)
图26-1-10
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=2x和y=x+1的图象过同一点,则当x>0时,
这个反比率函数的函数值y随x的增大而______(填“增大”或“减小”).
=2x与反比率函数的图象有一个交点为(2,m),则m=_____,
k=________,它们的另一个交点为________.
已知函数是反比率函数,
①若它的图象在第二、四象限内,那么k=_________
②若y随x的增大而减小,那么k=___________.
k
-1-9,直线y=2x-6与反比率函数y=x(x>0)的图象交于点A(4,2),与x轴交
于点B.
(1)求k的值及点B的坐标;
(2)在x轴上能否存在点C,使得AC=AB?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明原因.
图26-1-9
△ABO中,极点A是双曲线与直线在第四象限的交点,
AB⊥x轴于B且S△ABO=.
①求这两个函数的分析式;
②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积.
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第二十七章相像
图形的相像
概括
假如两个图形形状同样,但大小不必定相等,那么这两个图形相像。(相像的符号:∽)
判断
假如两个多边形知足对应角相等,对应边的比相等,那么这两个多边形相像。
相像比
相像多边形的对应边的比叫相像比。相像比为1时,相像的两个图形全等。
性质
相像多边形的对应角相等,对应边的比相等。相像多边形的周长比等于相像比。
相像多边形的面积比等于相像比的平方。
比率线段相关观点及性质
1、比和比率的相关观点:
(1)表示两个比相等的式子叫作比率式,简称比率.
(2)第四比率项:若
a
c或a:b=c:d,那么d叫作a、b、c的第四比率项.
b
d
(3)比率中项:若
a
b或a:b=b:c,b叫作a,c的比率中项.
b
c
(4)黄金切割:把一条线段(
AB)切割成两条线段,使此中较长线段(
AC)是原线段AB
与较短线段(
BC)的比率线段,就叫作把这条
线段黄金切割
.即AC2=AB·BC,AC=
51AB
;一条线段的黄金切割点有两个.
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比率的基天性质及定理
(1)a
c
ad
bc
b
d
(2)a
c
a
bcd
b
d
b
d
(3)ac
L
m(bdLn0)
acLm
a
b
d
n
bdLn
b
(1)三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比率.
平行于三角形一边截其余两边(或两边的延伸线),所得的对应线段成比率;
假如一条直线截三角形的两边(或两边的延伸线),所得的对应线段成比率,那么这条直线平行于三角形的第三边;
平行于三角形的一边,并且和其余两边(或两边的延伸线)订交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比率.
相像三角形.
相像三角形的定义:对应角相等、对应边成比率的三角形叫做相像三角形
相像比:相像三角形的对应边的比,叫做两个相像三角形的相像比.
相像三角形
定义:假如两个三角形中,三角对应相等,三边对应成比率,那么这两个三角形叫做相像三
角形。
几种特别三角形的相像关系:两个全等三角形必定相像。
两个等腰直角三角形必定相像。
两个等边三角形必定相像。
两个直角三角形和两个等腰三角形不必定相像。
增补:对于多边形而言,所有圆相像;所有正多边形相像(如正四边形、正五边形等等);
判断
,且夹角相等
,所构成的三角形与原三角形相像。
直角三角形相像判断定理:
○。
○,并且分红的两个直角三角形也相像。
性质
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(对应高、对应中线、对应角均分线、外接圆半径、
内切圆半径等)的比等于相像比。
。
增补一:直角三角形中的相像问题:
斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相像.
射影定理:
CD2=AD·BD,
AC2=AD·AB,
BC2=BD·BA
(在直角三角形的计算和证明中有宽泛的应用).
增补二:三角形相像的判断定理推论
推论一:顶角或底角相等的两个等腰三角形相像。
推论二:腰和底对应成比率的两个等腰三角形相像。
推论三:有一个锐角相等的两个直角三角形相像。
推论四:直角三角形被斜边上的高分红的两个直角三角形和原三角形都相像。
推论五:假如一个三角形的两边和此中一边上的中线与另一个三角形的对应部分红比率,那么这两个三角形相像。
位似
假如两个图形不单是相像图形,并且每组对应点的连线交于一点,对应边相互平行,那么这两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相像比又称为位似比。
性质
位似图形的对应点和位似中心在同向来线上,它们到位似中心的距离之比等于相像
比。
位似多边形的对应边平行或共线。
位似能够将一个图形放大或减小。
位似图形的中心能够在随意的一点,可是位似图形也会跟着位似中心的位变而位变。
依据一个位似中心能够作两个对于已知图形必定位似比的位似图形,这两个图形散布在位似中心的双侧,并且对于位似中心对称。
注意
1、位似是一种拥有地点关系的相像,所以两个图形是位似图形,必然是相像图形,而相像图形不必定是位似图形;
、两个位似图形的位似中心只有一个;
3、两个位似图形可能位于位似中心的双侧,也可能位于位似中心的一侧;
4、;
5、平行于三角形一边的直线和其余两边订交,所构成的三角形与原三角形位似。
习题
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b
5
a
b
1、已知a
13,则a
b的值是(
)
2
3
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4
2、如图,已知AB、CD、EF都与BD垂直,垂足分别是
B、D、F,且AB=1,CD=3,
那么EF的长是(
)
1
B、
2
3
4
A、
3
C、
D、
3
4
5
C
AE
BFD
第7题图
3、如图,△ABC中,点D、E分别在边AB,BC上,DE//AC,
若DB=4,DA=2,BE=3,则EC=.
A
D
BEC第4题
第1题
、已知△
ABC
∽△
DEF,
ABC与DEF的相像比为
4:1
,则
ABC与
DEF对应边上
4
的高之比为
.
5、将一副三角板按图叠放,则△
AOB与△DOC的面积之比等于
.
6、在?ABCD中,M,N是AD边上的三均分点,连结BD,MC订交于O点,则S△MOD:S△COB=.
7、如图,AB∥FC,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,分别延伸FD和CB交于点G.
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1)求证:△ADE≌△CFE;
2)若GB=2,BC=4,BD=1,求AB的长.
8、如图,已知B、C、E三点在同一条直线上,△
ABC与△
BD交AC于点G,线段AE交CD于点F.
求证:(1)△ACE≌△BCD;
(2)AG
AF.
GC
FE
9、如图,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,弦ED⊥AB于点F,交BC于点G,过点C的直线与ED的延伸线交于点P,PC=PG.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)当点C在劣弧AD上运动时,其余条件不变,若BG2=BF·:点G是BC的
中点
(3)在知足(2)的条件下,AB=10,ED=46,求BG的长.
第二十八章锐角三角函数
一、锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b
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