文档介绍：拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的性质
拉普拉斯逆变换
(系统的)复频域分析
* 双边拉普拉斯变换
第五章连续系统的复频域(S域)分析
(1)有些信号不存在傅里叶变换,如e2tε(t);
(2)有些信号的傅里叶变换求解困难,
甚至用不同的方法会得出不同的结论;
(2)对于给定初始状态的系统难于利用频域分析
回顾:频域分析
基本信号:虚指数信号ejωt
任意信号:分解为众多不同频率的虚指数分量之和
▲零状态响应的求解得到简化
▲物理意义清楚
不足
优点
频域
傅立叶变换
复频域
拉普拉斯变换
基本信号:复指数函数est
任意信号:分解为不同复频率的复指数分量之和
引入复频率 s = σ+jω
拉普拉斯变换
一、从傅里叶到拉普拉斯变换
若f(t)不满足绝对可积条件,求解傅里叶变换困难
适当选取的值
引入衰减因子e-t(为实常数)
f(t) e-t
f(t) e-t的傅里叶变换存在
当t∞时
f(t) e-t幅度趋近于0
傅里叶逆变换
f(t) e-t=
Fb(+j)= ℱ[ f(t) e-t]=
令s = + j
双边拉普拉斯变换对
Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换(f(t)的象函数)
f(t)称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换( Fb(s)原函数)
只有选择适当的值才能使积分收敛,信号f(t)的双边拉普拉斯变换才存在。
使 f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(s)的收敛域。
二、收敛域
例:因果信号f1(t)= et (t) ,求其拉普拉斯变换。
解
对于因果信号,仅当Re[s]=>时,其拉氏变换存在。
收敛域
收敛边界
例:反因果信号f2(t)= et(-t) ,求其拉普拉斯变换。
解
对于反因果信号,仅当Re[s]=<时,其拉氏变换存在。
例:双边信号求其拉普拉斯变换
求其拉普拉斯变换。
解:
其双边拉普拉斯变换 Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)
仅当>时,其收敛域为<Re[s]<的一个带状区域。
例:求下列信号的双边拉氏变换。
f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t)
f2(t)= – e -3t (–t) – e-2t (–t)
f3(t)= e -3t (t) – e-2t (– t)
解
Re[s]= > – 2
Re[s]= < – 3
– 3 < < – 2
象函数相同,但收敛域不同
双边拉氏变换必须标出收敛域!!!