2023年南京、盐城高三数学二模试卷.doc

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考前须知:
,包括填空题〔第1题~第14题〕、解答题〔第15题~第20题〕,考试时间为120分钟.
,请务必将自己的姓名、学校、班级、,交答复题纸.
参考公式:
柱体的体积公式:V=Sh,其中S为柱体的底面积,h为柱体的高.
圆柱的侧面积公式:S侧=2πRh,其中R为圆柱的底面半径,h为圆柱的高.
一、填空题〔本大题共14小题,每题5分,,请把答案写在答题纸的指定位置上〕
(x)=lnx+的定义域为▲.
=-2+i,z2=a+2i(i为虚数单位,aR).假设z1z2为实数,那么a的值为▲.
150200250300350400450

a



O
成绩/分
(第3题图)
,随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩,并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图),那么成绩在[300,350)内的学生人数共有▲.
k←1
开始
输出k
结束
S>6
S←1
Y
N
S←S+(k-1)2
k←k+1
(第6题图)
,2,,再随机抽取一张记下号码,那么两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为▲.
{an}的公差d不为0,且a1,a3,a7成等比数列,那么的值为▲.
,那么输出的k的值为▲.
x
x
y
O
·
2
-2
(第7题图)
(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如下列图所示,那么f()的值为▲.
,双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=4x的准线相交于A,△AOB的面积为2,那么双曲线的离心率为▲.
,当其体积最大时,该圆柱的底面半径与高的比为▲.
10.||=1,||=2,∠AOB=,=+,那么与的夹角大小为▲.
,过点P(5,3)作直线l与圆x2+y2=4相交于A,B两点,假设OA⊥OB,那么直线l的斜率为▲.
(x)是定义在R上的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=x2,当x>0时,f(x+1)=f(x)+f(1),且.
假设直线y=kx与函数y=f(x)的图象恰有5个不同的公共点,那么实数k的值为▲.
△ABC中,点D在边BC上,且DC=2BD,AB∶AD∶AC=3∶k∶1,那么实数k的取值范围为▲.
(x)=ax+sinx+(x)的图象上存在不同的两点A,B,使得曲线y=f(x)在点A,B处的切线互相垂直,那么实数a的取值范围为▲.
二、解答题〔本大题共6小题,,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内〕
15.(本小题总分值14分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAB⊥平面ABCD,PA⊥PB,
P
B
C
D
E
A
(第15题图)
BP=BC,E为PC的中点.
〔1〕求证:AP∥平面BDE;
〔2〕求证:BE⊥平面PAC.
16.(本小题总分值14分)
在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点是坐标原点,始边为x轴的正半轴,终边与单位圆O交
于点A(x1,y1),α∈(,).将角α终边绕原点按逆时针方向旋转,交单位圆于点B(x2,y2).
A
B
D
O
C
x
y
(第16题图)
〔1〕假设x1=,求x2;
〔2〕过A,B作x轴的垂线,垂足分别为C,D,记△AOC及
△BOD的面积分别为S1,S2,且S1=S2,求tanα的值.
17.(本小题总分值14分)
A
P
M
N
B
C
(第17题图)
如图,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M、N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=2(单位:千米).如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远).
18.(本小题总分值16分)
在平面直角坐标系xOy中,椭圆C∶+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2,一条准线方程为x=,直线PF1交椭圆C于另一点Q.
〔1〕求椭圆C的方程;
〔2〕假设点P的坐标为(0,b),求过P,Q,F2三点的圆的方程;
〔3〕假设=λ,且λ∈[,2],求·的最大值.
19.(本小题总分值16分)
函数f(x)=ex,a,bR,且a>0.
〔1〕假设a=2,b=1,求函数f(x)的极值;
〔2〕设g(x)=a(x-1)ex-f(x).
①当a=1时,对任意x(0,+∞),都有g(x)≥1成立,求b的最大值;
②设g′(x)为g(x)>1,使g(x)+g′(x)=0成立,求的取值范围.
20.(本小题总分值16分)
数列{an}的各项都为正数,且对任意n∈N*,a2n-1,a2n,a2n+1成等差数列,
a2n,a2n+1,a2n+2成等比数列.
〔1〕假设a2=1,a5=3,求a1的值;
〔2〕设a1<a2,求证:对任意n∈N*,且n≥2,都有<.
南京市2023届高三年级第二次模拟考试

考前须知:
.
,考试时间30分钟.
,考生务必将自己的姓名、学校、班级、,交答复题纸.
21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每题10分,、证明过程或演算步骤.
—1:几何证明选讲
如图,△ABC为圆的内接三角形,AB=AC,BD为圆的弦,且BD∥
A
E
B
C
F
D
第21题A图
DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.
〔1〕求证:四边形ACBE为平行四边形;
〔2〕假设AE=6,BD=5,求线段CF的长.
—2:矩阵与变换
矩阵A=的一个特征值为2,其对应的一个特征向量为α=.
〔1〕求矩阵A;
〔2〕假设A=,求x,y的值.
—4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,求曲线r=2cosθ关于直线θ=(rR)对称的曲线的极坐标方程.
—5:不等式选讲
x,yR,且|x+y|≤,|x-y|≤,求证:|x+5y|≤1.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,、证明过程或演算步骤.
22.〔本小题总分值10分〕
某中学有4位学生申请A,B,,且申请其中任何一所大学是等可能的.
〔1〕求恰有2人申请A大学的概率;
〔2〕求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X).
23.〔本小题总分值10分〕
设f(n)是定义在N*上的增函数,f(4)=5,且满足:
①任意n∈N*,f(n)Z;②任意m,n∈N*,有f(m)f(n)=f(mn)+f(m+n-1).
〔1〕求f(1),f(2),f(3)的值;
〔2〕求f(n)的表达式.
参考答案
一、填空题:本大题共14小题,每题5分,计70分.
1.(0,1]
°-213.(,)14.[-1,1]
二、解答题
:〔1〕设AC∩BD=O,连结OE.
因为ABCD为矩形,所以O是AC的中点.
因为E是PC中点,所以OE∥AP.…………………………………………4分
因为AP平面BDE,OE平面BDE,
所以AP∥平面BDE.…………………………………………6分
〔2〕因为平面PAB⊥平面ABCD,BC⊥AB,平面PAB∩平面ABCD=AB,
所以BC⊥平面PAB.………………………………………8分
因为AP平面PAB,所以BC⊥PA.
因为PB⊥PA,BC∩PB=B,BC,PB平面PBC,
所以PA⊥平面PBC.…………………………………………12分
因为BE平面PBC,所以PA⊥BE.
因为BP=PC,且E为PC中点,所以BE⊥PC.
因为PA∩PC=P,PA,PC平面PAC,
所以BE⊥平面PAC.…………………………………………14分
:〔1〕解法一:因为x1=,y1>0,所以y1==.
所以sinα=,cosα=.………………………2分
所以x2=cos(α+)=cosαcos-sinαsin=-.…………………………………6分
解法二:因为x1=,y1>0,所以y1==.A(,),那么=(,),…………2分
=(x2,y2),因为·=||||cos∠AOB,所以x2+y2=……4分
又x22+y22=1,联立消去y2得50x22-30x2-7=0
解得x2=-或,又x2<0,所以x2=-.………………………6分
解法三:因为x1=,y1>0,所以y1==.因此A(,),所以tanα=.………2分
所以tan(α+)==-7,所以直线OB的方程为y=-7x……………4分
由得x=±,又x2<0,所以x2=-.…………………6分
〔2〕S1=sinαcosα=-sin2α.…………………………………………8分
因为α(,),所以α+(,).
所以S2=-sin(α+)cos(α+)=-sin(2α+)=-cos2α.……………………………10分
因为S1=S2,所以sin2α=-cos2α,即tan2α=-.…………………………………12分
所以=-,解得tanα=2或tanα=-.因为α(,),所以tanα=2.………14分
17、解法一:设∠AMN=θ,在△AMN中,=.
因为MN=2,所以AM=sin(120°-θ).………………2分
在△APM中,cos∠AMP=cos(60°+θ).…………………6分
AP2=AM2+MP2-2AM·MP·cos∠AMP
A
P
M
N
B
C
第17题图
D
=sin2(120°-θ)+4-2×2×sin(120°-θ)cos(60°+θ)………………………………8分
=sin2(θ+60°)-sin(θ+60°)cos(θ+60°)+4
=[1-cos(2θ+120°)]-sin(2θ+120°)+4
=-[sin(2θ+120°)+cos(2θ+120°)]+
=-sin(2θ+150°),θ∈(0,120°).…………………………………………12分
当且仅当2θ+150°=270°,即θ=60°时,AP2取得最大值12,即AP取得最大值2.
答:设计∠AMN为60°时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.……………………………………14分
解法二(构造直角三角形):
设∠PMD=θ,在△PMD中,
∵PM=2,∴PD=2sinθ,MD=2cosθ.……………2分
在△AMN中,∠ANM=∠PMD=θ,∴=,
AM=sinθ,∴AD=sinθ+2cosθ,(θ≥时,结论也正确).……………6分
AP2=AD2+PD2=(sinθ+2cosθ)2+(2sinθ)2
=sin2θ+sinθcosθ+4cos2θ+4sin2θ…………………………8分
=·+sin2θ+4=sin2θ-cos2θ+
=+sin(2θ-),θ∈(0,).…………………………12分
当且仅当2θ-=,即θ=时,AP2取得最大值12,即AP取得最大值2.
此时AM=AN=2,∠PAB=30°…………………………14分
解法三:设AM=x,AN=y,∠AMN=α.
在△AMN中,因为MN=2,∠MAN=60°,
所以MN2=AM2+AN2-2AM·AN·cos∠MAN,
即x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy=4.…………………………………………2分
因为=,即=,
所以sinα=y,cosα===.…………………………………………6分
cos∠AMP=cos(α+60°)=cosα-sinα=·-·y=.……………………………8分
在△AMP中,AP2=AM2+PM2-2AM·PM·cos∠AMP,
即AP2=x2+4-2×2×x×=x2+4-x(x-2y)=4+2xy.………………………………………12分
因为x2+y2-xy=4,4+xy=x2+y2≥2xy,即xy≤4.
所以AP2≤12,即AP≤2.
当且仅当x=y=2时,AP取得最大值2.
答:设计AM=AN=2km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.………………………………14分
解法四(坐标法):以AB所在的直线为x轴,A为坐标原点,建立直角坐标系.
设M(x1,0),N(x2,x2),P(x0,y0).∵MN=2,
∴(x1-x2)2+3x=4.…………………………………………2分
MN的中点K(,x2).
∵△MNP为正三角形,且MN=2.∴PK=,PK⊥MN.
∴PK2=(x0-)2+(y0-x2)2=3,
kMN·kPK=-1,即·=-1,…………………………………………6分
∴y0-x2=(x0-),∴(y0-x2)2=(x0-)2
∴(1+)(x0-)2=3,即(x0-)2=3,∴(x0-)2=x.
∵x0->0∴x0-=x2,
∴x0=x1+2x2,∴y0=x1.…………………………………………8分
∴AP2=x+y=(2x2+x1)2+x=x+4x+2x1x2
=4+4x1x2≤4+4×2=12,…………………………………………12分
即AP≤2.
答:设计AM=AN=2km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.…………………………14分
解法五(变换法):以AB所在的直线为x轴,A为坐标原点,建立直角坐标系.
A
P
M
N
B
C
x
y
设M(x1,0),N(x2,x2),P(x0,y0).
∵MN=2,∴(x1-x2)2+3x=+4x=4+2x1x2
∴4+2x1x2≥4x1x2,即x1x2≤2.…………………4分
∵△MNP为正三角形,且MN=2.∴PK=,PK⊥MN.
顺时针方向旋转60°后得到.
=(x0-x1,y0),=(x2-x1,x2).
∴=,即
x0-x1=(x2-x1)+x2,y0=-(x2-x1)+x2.
∴x0=2x2+x1,y0=x1.…………………………………………8分
∴AP2=x+y=(2x2+x1)2+x=x+4x+2x1x2
=4+4x1x2≤4+4×2=12,…………………………………………12分
即AP≤2.
答:设计AM=AN=2km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.…………………………14分
A
P
M
N
B
C
F
E
解法六(几何法):由运动的相对性,可使△PMN不动,点A在运动.
由于∠MAN=60°,∴点A在以MN为弦的一段圆弧(优弧)上,…………4分
设圆弧所在的圆的圆心为F,半径为R,
由图形的几何性质知:AP的最大值为PF+R.…………8分
在△AMN中,由正弦定理知:=2R,
∴R=,…………10分
∴FM=FN=R=,又PM=PN,∴PF是线段MN的垂直平分线.
设PF与MN交于E,那么FE2=FM2-ME2=R2-12=.
即FE=,又PE=.……………………………12
∴PF=,∴AP的最大值为PF+R=2.
答:设计AM=AN=2km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.…………………………14分
18、〔1〕解:由题意得解得c=1,a2=2,所以b2=a2-c2=1.
所以椭圆的方程为+y2=1.…………………………………………2分
〔2〕因为P(0,1),F1(-1,0),所以PF1的方程为x-y+1=0.
由解得或所以点Q的坐标为(-,-).……………………4分
解法一:因为kPF·kPF=-1,所以△PQF2为直角三角形.……………………6分
因为QF2的中点为(-,-),QF2=,
所以圆的方程为(x+)2+(y+)2=.……………………8分
解法二:设过P,Q,F2三点的圆为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
那么解得
所以圆的方程为x2+y2+x+y-=0.…………………………………………8分
〔3〕解法一:设P(x1,y1),Q(x2,y2),那么=(x1+1,y1),=(-1-x2,-y2).
因为=λ,所以即
所以解得x2=.…………………………………………12分
所以·=x1x2+y1y2=x2(-1-λ-λx2)-λy=-x22-(1+λ)x2-λ
=-()2-(1+λ)·-λ=-(λ+).…………………………………………14分
因为λ∈[,2],所以λ+≥2=2,当且仅当λ=,即λ=1时,取等号.
所以·≤,即·最大值为.…………………………………………16分
解法二:当PQ斜率不存在时,
在+y2=1中,令x=-1得y=±.
所以,此时…………………………2
当PQ斜率存在时,设为k,那么PQ的方程是y=k(x+1),
由得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,
韦达定理………………………………………4
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
那么
的最大值为,此时………………………………8
19、解:〔1〕当a=2,b=1时,f(x)=(2+)ex,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
所以f′(x)=ex.…………………………………………2分
令f′(x)=0,得x1=-1,x2=,列表
x
(-∞,-1)
-1
(-1,0)
(0,)
(,+∞)
f′(x)
-
-
f(x)
↗
极大值
↘
↘
极小值
↗
由表知f(x)的极大值是f(-1)=e-1,f(x)的极小值是f()=4.……………………………………4分
〔2〕①因为g(x)=(ax-a)ex-f(x)=(ax--2a)ex,
当a=1时,g(x)=(x--2)ex.
因为g(x)≥1在x∈〔0,+∞〕上恒成立,
所以b≤x2-2x-在x∈〔0,+∞〕上恒成立.…………………………………………8分
记h(x)=x2-2x-〔x>0〕,那么h′(x)=.
当0<x<1时,h′(x)<0,h(x)在〔0,1〕上是减函数;
当x>1时,h′(x)>0,h(x)在〔1,+∞〕上是增函数.
所以h(x)min=h(1)=-1-e-1.
所以b的最大值为-1-e-1.…………………………………………10分
解法二:因为g(x)=(ax-a)ex-f(x)=(ax--2a)ex,
当a=1时,g(x)=(x--2)ex.
因为g(x)≥1在x∈〔0,+∞〕上恒成立,
所以g(2)=-e2>0,因此b<0.…………………………………………6分
g′(x)=(1+)ex+(x--2)ex=.
因为b<0,所以:当0<x<1时,g′(x)<0,g(x)在〔0,1〕上是减函数;
当x>1时,g′(x)>0,g(x)在〔1,+∞〕上是增函数.
所以g(x)min=g(1)=(-1-b)e-1…………………………………………8分
因为g(x)≥1在x∈〔0,+∞〕上恒成立,
所以(-1-b)e-1≥1,解得b≤-1-e-1
因此b的最大值为-1-e-1.…………………………………………10分
②解法一:因为g(x)=(ax--2a)ex,所以g′(x)=(+ax--a)ex.
由g(x)+g′(x)=0,得(ax--2a)ex+(+ax--a)ex=0,
整理得2ax3-3ax2-2bx+b=0.
存在x>1,使g(x)+g′(x)=0成立,
等价于存在x>1,2ax3-3ax2-2bx+b=0成立.…………………………………………12分