文档介绍：该【七大函数-七大性质 】是由【快乐蚂 蚁】上传分享，文档一共【30】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【七大函数-七大性质 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。七大函数-七大性质
函数综合问题概述——赵老师教你打通关
2
七大函数——
1、一次函数2、二次函数3、反比例函数4、指数函数5、对数函数6、幂函数7、三角函数
七大性质——
1、定义域2、值域3、最值4、周期性5、奇偶性6、单调性7、对称性
壹@一次函数(正比例函数)
1、定义与定义式:
自变量x和因变量y有如下关系:y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地,当b=0时,即:y=kx(k为常数,k≠0)则此时称y是x的正比例函数。
2、一次函数的性质:
在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b。
一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)
正比例函数的图像总是过原点。
(3)k,b与函数图像所在象限:
当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;
当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。
当b>0时,直线必通过一、二象限;
当b<0时,直线必通过三、四象限。
当b=0时,直线通过原点。
(4)特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。
这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通过二、四象限。
3、一次函数和正比例函数的图象和性质
函数综合问题概述——赵老师教你打通关
3
、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:
判别式
二次函数
的图象
一元二次方程的根
有两个相异实数根
有两个相等实数根
没有实数根
不等式的解集
叁@反比例函数
1、定义:一般地,形如(k为常数,)的函数称为反比例函数,它可以从以下几个方面来理解:
(1)x是自变量,y是x的反比例函数;
(2)自变量x的取值范围是的一切实数,函数值的取值范围是;
(3)反比例函数有三种表达式:
①(),②(),③(定值)()。
函数综合问题概述——赵老师教你打通关
4
(4)函数()与()是等价的,所以当y是x的反比例函数时,x也是y的反比例函数。
2、反比例函数解析式的特征: 
反比例函数
()
的符号
图像
定义域和值域
,;即(—∞,0)U(0,+∞)
,即(—∞,0)U(0,+∞)
单调性
图像的两个分支分别在第一、第三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小。
图像的两个分支分别在第二、第四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大。
肆@指数函数
(一)指数与指数幂的运算
:一般地,如果,那么叫做的次方根,其中>1,且∈*.
(1)·(2)(3)均满足.
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数,其中定义域为x∈R.
2、指数函数的图象和性质
条件
a>1
0<a<1
图像
函数综合问题概述——赵老师教你打通关
5
定义域
x∈R
x∈R
值域
y>0
y>0
单调性
在R上单调递增
在R上单调递减
奇偶性
非奇非偶函数
非奇非偶函数
特性
过定点(0,1)
过定点(0,1)
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上,值域是或;
(2)若,则;取遍所有正数当且仅当;
(3)对于指数函数,总有;
伍@对数函数
(一)对数
:一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,
记作:(—底数,—真数,—对数式);
:常用对数:以10为底的对数;
自然对数:以无理数为底的对数.
(二)对数的运算性质
如果,且,,,那么:
·+;-;
.
注意:换底公式(,且;,且;).
函数综合问题概述——赵老师教你打通关
6
利用换底公式推导下面的结论(1);(2).
(三)对数函数
1、对数函数的概念:函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
注意:对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:,都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
2、对数函数的性质:
条件
a>1
0<a<1
图像
定义域
x>0
x>0
值域
R
R
单调性
在R上递增
在R上递减
奇偶性
非奇非偶函数
非奇非偶函数
特性
过定点(1,0)
过定点(1,0)
@@@指数函数与对数函数的比较记忆
表1
指数函数
对数数函数
函数综合问题概述——赵老师教你打通关
7
定义域
值域
图象
性质
过定点
过定点
减函数
增函数
减函数
增函数
陆@幂函数
1、幂函数定义:一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);
(2)当时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数.
特别地,当时,幂函数的图象下凸;
当时,幂函数的图象上凸;
(3)时,幂函数的图象在区间上是减函数.
在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,
当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.
3、幂函数的图像
幂函数(1)幂函数(2)幂函数(3)
函数综合问题概述——赵老师教你打通关
8
@@@函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
即:方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
3、函数零点的求法:
(代数法)求方程的实数根;
(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
二、二次函数的零点:
二次函数.
(1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点.
(2)△=0,方程有两相等实根,二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点.
柒@三角函数
正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
函
数
性
质
图象
函数综合问题概述——赵老师教你打通关
9
1、定义域
2、值域
3、最值
当时,;
当时,.
当时,
;
当时,
.
既无最大值也无最小值
4、周期性
5、奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
6、单调性
在
上,是增函数;
在
上,是减函数.
在上,
是增函数;
在上,是减函数.
在上,是增函数.
7、对称性
对称中心
对称轴
对称中对称轴
对称中心
无对称轴
三角函数(记忆)
同角三角函数的基本关系式:,,,
函数综合问题概述——赵老师教你打通关
11