双曲线渐近线和离心率问题.doc

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[题型分析·高考展望]双曲线作为圆锥曲线三大题型之一,也是高考热门,其性质是考察的
要点,,也会在填空题中考察,一般为
、用法是此类问题的解题之本.
常考题型精析
题型一双曲线的渐近线问题
x2
y2
例1(1)(2015·重庆)设双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左,右极点分别是
A1,A2,
过F作AA
的垂线与双曲线交于
B,C两点,若AB⊥A
C,则该双曲线的渐近线的斜率为
1
2
1
2
________.
x
2
2
(2)(2014·江西)如图,已知双曲线
C:a
2-y
=1(a>0),B分别在
C的两条
渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).
①求双曲线C的方程;
②过
上一点
(
0,0)(
x0x
3
C
0≠0)的直线:2
-y
y=1与直线AF订交于点M,与直线x=2相
Px
yy
l
a
0
:当点P在C上挪动时,
MF
恒为定值,并求此定值.
NF
评论(1)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简略求法
b
x?
xy
x2
y2
.由y=±
±=0?
2-
2=0,所
a
ab
a
b
2
2
以能够把标准方程x2
-y2=1(a>0,b>0)中的“1”用“0”替代即可得出渐近线方程.
a
b
b
x2
y2
(2)已知双曲线渐近线方程:
y=ax,可设双曲线方程为
a2-b2=λ(λ≠0),求出λ即得双曲线
方程.
x2
y2
x2
变式训练1
(2014·山东改编)已知a>b>0,椭圆C1的方程为a2
+b2=1,双曲线C2的方程为a2
y2
3
,则C2的渐近线方程为______________________.
-
2=1,C1
与C2的离心率之积为
b
2
题型二
双曲线的离心率问题
例2
(1)(2015·湖北改编)将离心率为e
的双曲线C的实半轴长a和虚半轴长
b(a≠b)同时增
1
1
加m(m>0)个单位长度,获得离心率为
e2的双曲线C2,则以下命题正确的选项是
________.
①对随意的a,b,e1>e2;
②当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2;
③对随意的a,b,e1<e2;
④当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2.
(2)已知O为坐标原点,双曲线
曲线的渐近线于异于原点的两点

x2y2
2-2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,以OF为直径作圆交双ab
→→→
e为________.
A、B,若(AO+AF)·OF=0,则双曲线的离心率
评论在研究双曲线的性质时,实半轴、虚半轴所组成的直角三角形是值得关注的一个重要
c
内容;双曲线的离心率波及的也比许多
.因为
e
=是一个比值,故只要依据条件获得对于
a
、
a
b、c的一个关系式,利用b2=c2-a2消去b,而后变形求e,而且需注意
e>
线方程中x,y的范围问题.
1x2
y2
变式训练2(2014·湖南)如图,O为坐标原点,椭圆C:2+
2=
a
b
1(a>b>0)的左、右焦点分别为F、F
,离心率为e;双曲线
C:
1
2
1
2
x2
y2
3
a2
-b2=1的左、右焦点分别为F3、F4,=2,
且F2F4=3-1.
(1)求C1,C2的方程;
(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值.
题型三双曲线的渐近线与离心率的综合问题
x2y2
例3(2014·福建)已知双曲线E:a2-b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别
为l1:y=2x,l2:y=-2x.
(1)求双曲线

E

的离心率;
(2)如图,O为坐标原点,动直线

l分别交直线

l1,l2于

A,B

两点(A,B

分
别在第一、四象限

),且△OAB

的面积恒为

:能否存在总与直线

l

有且只有一个公
共点的双曲线

E?若存在,求出双曲线

E

的方程;若不存在,请说明原因

.
评论解决此类问题:一是利用离心率公式,渐近线方程,斜率关系等列方程组
.二是数形
联合,由图形中的地点关系,确立有关参数的范围.
2
2
变式训练3(2014·浙江)设直线
x
-3+
m
=0(
≠0)与双曲线x2-
y
2=1(>0,>0)的两条渐
y
m
a
b
a
b
近线分别交于点A,(m,0)知足PA=PB,则该双曲线的离心率是
________.
高考题型精练
1.(2015·课标全国Ⅰ改编)已知M(x0,y0)是双曲线C:x2
-y2=1上的一点,F1,F2
是C的两个
2
焦点,若
→1
→
2<0,则
y
0的取值范围是__________.
MF·
MF
π
C1:
x2
-
y2
y2
x2
2.(2015·镇江模拟)已知0<θ<,则双曲线
2
2
=1与C2:2-
2
2=1
4
cos
θsin
θ
sinθsin
θtanθ
的
相等.(填序号)
①实轴长;②虚轴长;③离心率;④焦距.
x2
y2
2
2
-b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆
C:x+y-6x+5=0相切,且双曲
线的右焦点为圆
C的圆心,则该双曲线的方程为
______________.

x2
y2
=1的右焦点为圆心,且与双曲线
x2
y2
的渐近线相切的圆的方程是
+
-
=1
169
144
9
16
________________.
x2
y2
y2
x2
-b2=1(a>0,b>0)以及双曲线a2-b2=1的渐近线将第一象限三平分,则双
x2
y2
曲线a2-b2=1的离心率为________.
x2
y
2
=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为
F,F
,过F
6.(2015·镇江模拟)已知双曲线C:a-b
2
2
2
1
2
作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为
H,若F2H的中点M在双曲线C上,则双曲线
C
的离心率为________.
2
x
2
y2
=8x的准线过双曲线a
2
-b2=1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率
为2,则该双曲线的方程为________________.
,且左,右焦点分别为
F
,F
,以FF
2
为底边作正三角形,
1
2
1
若双曲线C与该正三角形两腰的交点恰为两腰的中点,则双曲线
C的离心率为________.
x2
y2
,F2分别是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过点
F2与双曲线的一条渐
近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点
,若点
M
在以线段
1
2为直径的圆外,则双
M
FF
曲线离心率的取值范围是____________.
x2
y2
2
2
1
2
的切线,切点为E,直线EF
-
2=1(a>0,b>0)的左焦点F作圆x
+y
=a
a
b
4
→
1→→
______.
交双曲线右支于点P,若OE=(OF+OP),则双曲线的离心率是
2
y2
x2

-b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为
2x+y=0,且极点到渐近线的距离
2
5
为.
5
(1)求此双曲线的方程;
(2)设P为双曲线上一点,A,B两点在双曲线的渐近线上,
→
且分别位于第一、二象限,若AP
→
=PB,求△AOB的面积.
x2y2
12.(2015·盐城模拟)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0).
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,求双曲线的方程;
(2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切
线,斜率为-3,求双曲线的离心率.
答案精析
第30练双曲线的渐近线和离心率问题
常考题型典例分析
例1
(1)±1
分析
x2
y2
1
2
(a,0),易求
双曲线a2-b2=1的右焦点F(c,0),左,右极点分别为
A(-a,0),A
b2b2
c,a,Cc,-a,则
b2b2
aa
kA2C=a-c,kA1B=a+c,又A1B与A2C垂直,
b2
b2
a
a
=-1,
则有
1·2=-1,即
·
kABkAC
a+ca-c
b4
2
a
2
2
∴c2-a2=1,∴a
=b,即a=b,
b
∴渐近线斜率k=±=±1.
a
(2)解①设F(c,0),因为b=1,所以c=a2+1,
1
直线OB的方程为y=-ax,
1
直线BF的方程为y=a(x-c),
c
解得B(2,-2a).
1
又直线OA的方程为y=ax,
c
c
c
a--
2a
3
则A(c,a),kAB=
c
=a.
c-2
1
又因为AB⊥OB,所以a·(-a)=-1,
解得a2=3,
故双曲线C的方程为x2-y2=1.
3
②由①知a=3,则直线l的方程为
xx
xx-3
0
-y0y=1(y0≠0),即y=
0
.
3
3y0
因为直线AF的方程为x=2,
所以直线l与AF的交点为M(2,
2x0-3
);
3y0
3
x0-3
3
3
2
直线l与直线x=2的交点为N(2,3y0
).
2x-3
2
0
则
MF2
3y02
=
2x0-32
NF
2=
3
9
2
9
0
1
x0-3
2
y
+
x0-22
2
4
4
+
3y0
2
4
4
2x0-3
2
2.
=·
2
x
-
33y+3
2
0
0
x
2
0
2
因为P(x0,y0)是C上一点,则
-y0=1,
3
代入上式得
MF2
4
2x0-3
2
2=
2
2
NF
3
·
x0-3+3x0-2
4
2
4
2x0-3
=·2
=,
34x
0-12x
0+93
MF
2
2
3
即所求定值为NF=
3
=
3
.
变式训练1
x±2y=0
分析
1
c1
2
c2
由题意知e
=a,e
=a,
c
c
2
cc
2
3
e
1
1
∴
1·2=
·
=
2
=.
e
a
2
aa
2
2
2
2
2
2
又∵a
=b
+c1
,c2
=a
+b,
2
2
2
∴c1
=a-b
,
2
c
2
4
4
b4
∴
c1
2
a
-b
,
4
=
4
=1-( )
a
a
a
3
即1-(a)=4,b
b2b2
解得a=±2,∴a=2.
x2y2
令a2-b2=0,解得bx±ay=0,
x±2y=0.
例2(1)④(2)2
分析(1)由题意e1=
a2+b2
b2
;双曲线C2
a+m,虚半轴长为
a2
=
1+a
的实半轴长为
b+m,
离心率
a+m2+b+m2
1+
b+m2
.
e2=
2
=
a+m
a+m
b+mbma-b
因为a+m-a=aa+m,且a>0,b>0,m>0,a≠b,
ma-b
b+m
b
所以当a>b时,aa+m>0,即a+m>a.
b+mb
又a+m>0,a>0,
b+m2
b2,
b+m2
b2
所以由不等式的性质挨次可得
+
>
1+
a
+
>1
+
a
,所以
am
a
m
b+m2
b2
ma-b
1+a+m>
1+a
,即e2>e1;同理,当
a<b时,aa+m<0,可推得e2<e1.
综上,当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2.
→→
→
可知AT⊥OF,
(2)如图,设OF的中点为T,由(AO+AF)·OF=0
c
又A在以OF为直径的圆上,∴A2,2,
b
又A在直线y=ax上,∴a=b,∴e=2.
变式训练2解
(1)因为
12=
3
a2-b2
a2+b2
3
4
43
4
2
,所以
a
·
=
,即
a
-
b
=
,所以
a
ee
2
a
2
4a
2
3b,0),于是
3b-b=FF=
2
=2b,进而F(b,0),F(
3-1,所以b=1,a=2.
2
4
2
4
x2
2
=1,
x2
2
故C1,C2的方程分别为
+y
-y
=1.
2
2
(2)因AB不垂直于y轴,且过点F1(-1,0),
故可设直线AB的方程为x=my-1.
x=my-1,
由x2
2
y
2
my
得(
+2)
-2
-1=0.
+y2=1
m
2
易知此方程的鉴别式大于0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1,y2是上述方程的两个实根,
2m-1
所以y1+y2=m2+2,y1y2=m2+2.
-4
所以x1+x2=m(y1+y2)-2=m2+2,
-2
m
于是AB的中点为M(m2+2
,m2+2
),
故直线PQ的斜率为-
m
m
,PQ的方程为y=-x.
2
2
y
=-m
,
2x
得(2-m2)x2=4,
由
2
x
2
2
-y=1
2
2
4
2
m2
所以2-m>0,且x=2-m2,y=2-m2,
2
2
m2+4
进而PQ=2x
+y=2
2-m2.
设点A到直线PQ的距离为d,
则点B到直线PQ的距离也为d,
|mx1+2y1|+|mx2+2y2|
所以2d=
m2+4
.
因为点A,B在直线mx+2y=0的异侧,
所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0,
于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|
|mx1+2y1-mx2-2y2|,
m2+2|y1-y2|
进而2d=
m2
+4
.
又因为|y1-y2|=
y1+y2
2-4y1y2
2
2·1+m2
=
m2+2
,
2
2·1+m2
所以2d=
.
m2+4
1
2
2·1+m2
3
故四边形APBQ的面积S=
·PQ·2
d=
2=22·
-1+
2.
2
2-m
2-m
而0<2-m2≤2,故当m=0时,S获得最小值2.
综上所述,四边形APBQ面积的最小值为2.
例3解(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,
b
y=-2x,所以a=2,
c2-a2
所以
=2,故c=5a,
a
c
进而双曲线E的离心率e=a=5.
(2)方法一
x2
y2
=1.
由(1)知,双曲线E的方程为a
-
4a
2
2
设直线l与x轴订交于点C.
当l⊥x轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,则OC=a,AB=4a.
又因为△OAB的面积为8,
1
所以2·OC·AB=8,
1
所以a·4a=8,解得a=2,
2
此时双曲线E的方程为
x2
y2
4
-=1.
16
若存在知足条件的双曲线
E,
则E的方程只好为
x2
y2
4-16=1.
以下证明:当直线
l不与x轴垂直时,