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第一章图形与证明(二)
:
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)。
等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”)。
等腰三角形的判定定理:
如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”)。
:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简称“HL”)。
角平分线的性质:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角平分线的判定:
角的内部到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。
直角三角形中,30°的角所对的直角边事斜边的一半。
:
定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
定理1:平行四边形的对边相等。
定理2:平行四边形的对角相等。
定理3:平行四边形的对角线互相平分。
判定——从边:1两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
3两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
从角:两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
对角线:对角线互相平分的四边形是平行四边形。
矩形的性质与判定:
定义:有一个角的直角的平行四边形是矩形。
定理1:矩形的4个角都是直角。
定理2:矩形的对角线相等。
定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
判定:1有三个角是直角的四边形是矩形。
2对角线相等的平行四边形是矩形。
菱形的性质与判定:
定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
定理1:菱形的4边都相等。
定理2:菱形的对角线相互垂直,并且每一条对角线平分一组对角。
判定:1四条边都相等的四边形是菱形。
2对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
正方形的性质与判定:
正方形的4个角都是直角,4条边都相等,对角线相等且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
正方形即是特殊的矩形,又是特殊的菱形,它具有矩形和菱形的所有性质。
判定:1有一个角是直角的菱形是正方形。
2有一组邻边相等的平行四边形是正方形。
苏教版九年级数学上册基本知识点
定义:两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
定理1:等腰梯形同一底上的两底角相等。
定理2:等腰梯形的两条对角线相等。
判定:1在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
2对角线相等的梯形是等腰梯形。
三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
梯形的中位线平行于两底,并且等于两底的一半。
中点四边形:依次连接一个四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形(中点四边形一定是平行四边形)。
原四边形对角线
中点四边形
相等
菱形
互相垂直
矩形
相等且互相垂直
正方形
第二章数据的离散程度
:
一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差。计算公式:极差=最大值-最小值。
极差是刻画数据离散程度的一个统计量,可以反映一组数据的变化范围。一般说,极差越小,则说明数据的波动幅度越小。
各个数据与平均数的差的平均数叫做这组数据的方差,记作S2。
巧用方差公式:
1、基本公式:S2=[(X1-)2+(X2-)2+……+(Xn-)2]
2、简化公式:S2=[(X12+X22+……+Xn2)-n2]
也可写成:S2=(X12+X22+……+Xn2)-2
3、简化②:S2=[(X’12+X’22+……+X’n2)-n2]
也可写成:S2=(X’12+X’22+……+X’n2)-2
标准差:
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差,记作S。
意义:
1、极差、方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征,常用来比较两组数据的波动大小,我们通常研究的是这组数据的个数相等、平均数相等或比较接近的情况。
2、方差较大的波动较大,方差较小的波动较小。
3、方差大,标准差就大,方差小,标准差就小。因此标准差同样反映数据的波动大小。
注意:对两组数据来说,极差大的那一组不一定方差大,反过来,方差大的极差也不一定大。
苏教版九年级数学上册基本知识点
第三章二次根式
定义:一般地,式子(a≧0)叫做二次根式,a叫做被开方数。
有意义条件:当a≧0时,有意义;当a≦0时,无意义。
性质:1、≧0(a≧0)
2、()2=a(a≧0)
3、2=∣a∣=a(a≧0)
a(a<0)
法则:√a·√b=√ab(a≧0,b≧0)
=√(a≧0,b>0)
化简:①√ab=√a·√b(a≧0,b≧0)
②√=(a≧0,b>0)
③==(a≧0,b>0)
第四章一元二次方程
:
只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
一般形式是aX2+bX+c=0(a、b、c是常数,a≠0),其中aX2称为二次项,a称为二次项系数,bX称为一次项,b称为一次项系数,c称为常数项。
:
1、直接开平方
2、配方法:先把一元二次方程变形为(X+h)2=k的形式(其中h,k都是常数),如果k≧0,再通过直接开平方法求出方程的解
3、公式法(求根公式):一元二次方程aX2+bX+c=0(a≠0),当b2-4ac≧0时,它的根是(≧0)
4、因式分解法
根的判别式
一元二次方程aX2+bX+c=0(a≠0)的根的情况可由b2-4ac来判定,因此b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式。
当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根
当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根X1=X2=
当b2-4ac<0时,方程没有实数根。反之,也成立。
一元二次方程应用题步骤:“设、找、列、解、验、答”
第五章中心对称图形(二)
定义:圆是定点的距离等于定长的点的集合。其中,定点叫做圆心,定长叫做半径。
与圆有关的概念:
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1、连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径。
2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧。
3、定点在圆上的角叫做圆心角。
4、圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆。能够互相重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。
点与圆的位置关系:
在平面内,点与圆有3中位置关系:点在圆内,点在圆上,点在圆外。如果设⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为d,那么“点P在圆内←→d<r;点P在圆上←→d=r;点P在圆外←→d>r”
圆是中心对称图形,圆心是对称中心。
圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
圆心角、弧、弦之间的关系(等对等定理):
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
概念:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
定理:同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半。(圆心与圆周角的位置关系分为三种情况:圆心在角的一边上;圆心在角的内部;圆心在角的外部)
推论:1、直径(或半圆)所对的圆周角是直角。
2、90°的圆周角对的弦是直径。
条件:不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
三角形的外接圆:
三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心是三角形的三边的垂直平分线的交点,这个点叫做三角形的外心。这个三角形叫做圆的内接三角形
1、直线与圆有两个公共点时,叫做直线与圆相交。(d<r)
2、直线与圆有唯一的公共点,叫做直线与圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点。(d=r)
3、直线与圆没有公共点时,叫做直线与圆相离。(d>r)
直线与圆的位置关系可以用它们的交点的个数来区分,也可以用圆心到直线的距离与半径的大小关系来区分,它们的结果是一致的。
切线的性质与判定:
判定:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线式圆的切线。
性质:(圆的切线垂直于过切点的半径)
经过圆心且垂直于切线的直接必经过切点。
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
切线与圆只有一个公共点;切线与圆心的距离等于半径;切线垂直于过切点的半径。
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内心:
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
内切圆的圆心叫做三角形的内心,它是三角形的三条角平分线的交点。
这个三角形叫做圆的外切三角形。
性质与判定:
如果两圆的半径分别为R和r,圆心距为d,那么
两圆外离←→d>R+r
两圆外切←→d=R+r
两圆相交←→R-r<d<R+r(R>r)
两圆内切←→d=R-r(R>r)
两圆内含←→0≤d<R-r(R>r)
连心线的性质:
圆是轴对称图形,从上表中可以看出它们都是轴对称图形。沿O1、O2所在直线(连心线)对折,发现:两圆相切,直线O1O2必过切点;两圆相交,连心线垂直平分它们的公共弦。
正多边形概念:各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。
性质:正多边形都是对称图形,一个正n边形共有n条对称轴,没条对称轴都通过正n边形的中心。一个正多边形如果有偶数条边,那么它既是轴对称图形,又是中心对称图形。如果一个正多边形是中心对称图形,那么它的中心就是对称中心。
边数相同的正多边形相似。
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆。
友情提醒:(1)边数相同的正多边形相似,这是解与正多边形有关问题常用到的知识。
(2)任何三角形都有外接圆和内切圆,但只有正三角形的外接圆和内切圆才是同心圆。过正多边形任意三个顶点的圆就是这个正多边形的外接圆。
作正多边形:作半径为R的正n边形的关键是n等分圆。这就要学习两种方法:
用量角器等分圆,可以作任意正多边形,这是近似作法。具体地说先计算出顶点在圆心的角的度数,即正n边形的圆心角为,然后依次用量角器将圆等分,顺次连接各分点,就作出正n边形。
用尺规等分圆,作正方形和正六边形。具体地说:先作出两条互相垂直的直径,将圆四等分,顺次连接各分点,就做出正方形;用圆规从圆上一点顺次截取等与半径的弦,将圆六等分,顺次连接各等分点,就作出正六边形。
友情提醒:在作正多边形时,要从圆周上某一点开始连续截取等弧,否则,易产生误差。
圆的周长公式C=2πR,其中π是圆的周长与直径的比值,π称为圆周率。
弧长公式:l=,其中,表示1°的圆心角的倍数,它不带单位,R为圆的半径,l为n°的圆心角所对的弧长。
扇形面积公式:
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。
苏教版九年级数学上册基本知识点
①圆心角为n°的扇形面积的计算公式为S扇形=。
②弧长为l的扇形面积的计算公式为S扇形=lR。
公式①中的n应理解为1°的圆心角的倍数,不带单位,同时要注意与弧长:l=公式进行比较,避免混淆。公式②与三角形面积公式相类似,在S=lR中,把扇形看成一个曲边三角形,把弧长l看作底,R看作高,这样对比,有助于理解与记忆公式。
圆锥的侧面展开:
圆锥的侧面展开图是扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长l=2πr。
这个扇形的半径等于圆锥的母线长l母线=
这个扇形的圆心角α=·360°
这个扇形的面积等于圆锥的侧面积S侧面积=S扇形=·2πr·l=πr·l
圆锥与圆柱的比较
名称
圆柱
圆锥
图形
图形的形成过程
由一个矩形旋转得到,如矩形ADD’G绕直线AB旋转一周
由一个直角三角形旋转得到,如Rt△SOA绕直线SO旋转一周
图形的组成
两个底面圆和一个侧面
一个底面圆和一个侧面
面积、体积的计算公式
S侧=2πrh
S全=S侧+2S底=2πrh+2πr2
V=πr2h
S侧=πr
S全=S侧+S底=πr+πr2
V=πr2h
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