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阿基米德的报复
保罗·霍夫曼 著 尘土等译
“科学和人译丛”出版说明
前言
本书主要概述了数学所涉及的领域和范畴。我并不认为这本书包罗万象,然而它选择的主题很离奇,,它至少像生物学一样有广泛的领域,在生物界中,某个研究人员正努力研究艾滋病毒,而另一个研究人员那么在研究袋熊的社会化问题.……
第一篇数字
第一章邪恶的数和友好的数
毕达哥拉斯和好友认为,整数的完美性,即完全数是任何其所有除数之和(该除数本身外)等于该数本身的整数。第一个完全数是6。它可被1、2和3整除并且是1、2和3之和。第二个完全数是28。它的除数是1、2、4、7和14,这些数加起来为28。希腊人所知道的就是这些,尽管他们做过尝试,但没有发现奇数完全数。……
第二章阿基米德的报复
按照阿基米德的愿望,人们在他的墓碑上刻了一个圆柱体,柱体里面是一个球体——象征着他的骄傲的发现:球的体积是装下该球的最小的圆柱体体积的三分之二。
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……
第三章素数的滥用
然而在今天,——素数正在以国家安全的名义滥用自己。据报道我们政府所用的某些最好的密码是依靠素数创制的。在这些密码中,字母被转换成数字,其根据纯然是数学的:某些计算程序较易创制但极难破译。例如,(当然,除非有人告诉你)。……
第四章比尔密码之谜
密码学——编制和破译密码的科学—-日益成为那些可以获得最新计算机技术的数学家所从事的量性学科。今天在军队和私人企业中所使用的密码和昨日的密码截然不同,总的来说是变得更为难以破译了。然而,尽管获得了这些进步,这种新型的数学密码在许多场合也不管用,而对一些古老的密码,最先进的破译技术仍然无法解开。……
第二篇形状
第五章制作复活节大彩蛋
自从雷施分开韦格勒维尔镇,,该镇仍然存在,而这座独具匠心的纪念碑使韦格勒维尔镇出如今地图上(还被收载入女王伊丽莎白的加拿大旅游指南中)。该镇惟一的委屈是这个复活节彩蛋尚未被收入《吉尼斯世界纪录大全》,加拿大艾伯塔省的另一个城镇卡尔加里镇就曾因用20,117个鸡蛋烹调出世界上最大的煎蛋饼而载入《吉尼斯世界纪录大全》。
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……
第六章麦比乌斯分子
数学不仅可以在最宏大的规模上帮助进展形状设计,如3层半楼层高的复活节彩蛋,而且还可以在微小的范围内帮助设计。本章将表达美国博尔德市科罗拉多大学的戴维·沃尔巴和同事们如何在奇特的麦比乌斯带中合成分子的故事。……
第七章遗漏了的带一把手的三孔空心球形问题
150年来,许多数学家都曾研究肥皂膜的形状,而且霍夫曼和米克斯发现的许多曲面都是和这些形状有关的。假设把一铁丝圆环浸没在肥皂液中,然后取出,,因为在可能横跨铁环的所有曲面中,平圆盘形具有最小的面积.……
第三篇计算机
第八章图灵的通用计算机
图灵计算机是一个非凡的概念。不过从其一系列性能的观点来看,它却是非常有限的。即使你对计算机的程序设计一无所知(或许整个主题会使你吃惊),但图灵计算机的如此有限性能,也会使你很快地理解它的
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“内部"工作情况,从而快乐地为它编写程序。然而,从计算的观点看,它是可以进展任何运算的,换句话说,数学家可以进展的任何运算,想象的最大功率计算机也可以进展运算。……
第九章威利·洛曼无辜地死去了吗?
算法的功能之一是其能用于一个问题的所有实例。例如加法算法可以算出任何两个整数的和。你虽然花费时间去详尽写出一种算法的全部细节,但你却得到了一种可以保证工作的方法。计算机的程序或是单一的算法或是系列的算法.……
第十章计算机——将来的象棋之王
国际象棋的数学可以证明全方位搜索的低效性。在人类国际象棋大师之间的对弈,典型的是对弈了84着棋(1着棋即指定的一方走一步棋)。由于每个棋位平均有38步法定棋步,因此穷举搜索法必须考虑3884个可能的棋位。那是一个庞大的数字:3884大于10132,,因此,即使让计算机可以工作像宇宙年龄那么长的时间,每秒钟也要分析10114个国标象棋棋位,才能看清博弈的结局。……
第十一章男孩和他的计算机
连接机是新近出现的一种最引人注目的计算机,带有一个并行处理机,它正开场改变计算机科学。传统计算机,即使是功率大的,也只靠单独的处理机进展计算。连接机那么根本不同;它利用65,536个小处理机,或叫做微型电脑的总体功率,一起工作,解决一个问题。
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第四篇“一人一票”
第十二章数学中的民主
对策论是对冲突进展数学分析,它存在于政治、商业、军事或各项事务之中。对策论诞生于1927年,由数学全能行家约翰·冯纽尔曼创立。.……
第十三章国会议员的数学游戏
为什么按比例分配是这样一个问题呢?美国宪法第一条第二款似乎提供了一个直接的答案:每个州派往众议院的代表人数应和本州人口成比例。问题是,虽然一个国会议员的忠心可分,而他的躯体却不可分;人就像便士或电荷或亚原子自旋状况一样,是量子化的。……
前言
阿基米德的头脑较之荷马有更丰富的想象力。
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—-伏尔泰
伊萨克·牛顿有句著名而又谦逊的格言:“我所以比别人看得更远,是因为我站在巨人的肩膀上。”当时,他心中确实铭记着古代最伟大的一位数学家,希腊叙拉古城的阿基米德。然而,阿基米德还是一位力学天才,在他众多的机械创造中,有水车,又称作阿基米德螺旋泵,是一种用于抽水进展灌溉的螺旋状泵。虽然人们对于阿基米德的生平和他对自己的功绩的评价知之甚少,但多数评论家猜测,,一个叫普卢塔克的写道:“而阿基米德具有这样一种崇高的精神,这样一种深奥的魂灵和这样一种科学理论的财富,虽然他的许许多多的创造为他赢得了声誉,并使他以‘超人的精明'而知名,但他并不愿为这些课题著书立说,流传后世,而把一个工程师的工作和有助于生活需求的每一件艺术品都视为卑贱和和庸俗。他只潜心于研究那些不受生活品需求影响的精妙而有魅力的学科。”其他评论家那么进一步认为,甚至当他从事杠杆、滑轮或其他机械研究时,他也是为了探究力学的普遍原理,而不是为了实际应用。
实际上,阿基米德对于理论的侧重胜于实际到什么程度可能永远不得而知。但有一点是清楚的:在他的作品中,理论和应用之间的关系是紧张的,而这种紧张的关系一直持续浸透到以后22个世纪的数学之中。
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本书主要概述了数学所涉及的领域和范畴。我并不认为这本书包罗万象,然而它选择的主题很离奇,但它也只能如此。数学是世间每所大学都从事研究的一门学科,它至少像生物学一样有广泛的领域,在生物界中,某个研究人员正努力研究艾滋病毒,而另一个研究人员那么在研究袋熊的社会化问题。
我对数学的讨论犹如我在研究中国莱谱,到处品味,,你很难成为一名中餐美食家,但比起从未吃过中餐的人却又知之较多。数学亦如此。研究几个数学课题,是不可能掌握数学中一切重要的内容的,但比起那些一窍不通的人来,你对这些课题的感受却又深得多。
目前已出版了许多论及数学方面的哲学根底的书籍,从某种程度上讲这是必然性的科学,因为它的结论在逻辑上是无懈可击的。、富有诗意的离题的阐述却有它的市场,.
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我还想批驳一个错误观点:仅仅肯花力气进展足够的运算,就可得到数学的任何结果,换句话说,假设你想解一道数学题,只需做足够量的运算就行了。即使你我缺乏解数学难题的才能,但我们也疑心内行人士——这些理解数学符号的人——是否都可以对他们选择的任何一个问题经过潜心研究后找到答案。毕竟,我们的知识使我们相信数学是属于演绎推理,推断一个数学结果要像推论“所有人都必定要死的”和“苏格拉底是人”,因此“苏格拉底必定要死的”一样简单就好了!
我写作本书的目的之一是要说明一种数学知识的局限性。在我们所考察的每个数学领域中,我要指出什么是的和什么是未知的。有时我们的知识是有局限的,因为某些领域刚刚开发,。此外,数学家的知识的局限性也是比较重要的因素。它说明,这些问题要从数学方面获得快速解简直是不可能的。
,但有关的许多问题仍然令人费解。比一个素数的概念更简单的能是什么--一个大于1的整数,像3,5,17,或31等不能被1和本身之外的其他整数整除的数?早在古希腊人的时代就知道素数是无穷尽的,但是没有一个人知道孪生素数
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——成对的素数,如3和5,相差2,它们是否也是无穷尽的。没有人知道是否存在无限多的完全数,像6一样等于它所有因子(当然除去它本身外,即3,2和1)之和的整数。·厄尔多斯是一个证明素数根本定理的大师-—他在18岁的时候,就提出了著名的论证:在每个大于1的整数和它的倍数之间一定有一个素数—-他认为,数学家们还远远没有理解整数,更何况其他类型的数。他说:“至少还得再过100万年,我们才可能理解素数.”
在数学上,对形状的理解也远远不够。在二维方面,关于什么形状可以在一定条件下用砖瓦贴盖外表的问题还有许多疑难未解之处。在三维的砖瓦贴面模拟中,形状的填充要尽可能使给定的空间密集,这对于许多根本形状来说仍悬而未决。但是,缺乏理论知识未必总是实用主义者的拦路虎,设计师罗纳德·雷施制造出三层半的复活节彩蛋就是明证。
由于有关数字和形状的根本问题仍未解决,因此对计算机——一种复杂的数字工具—-能做什么和不能做什么常常众说纷纭,并出现一些混乱状态,这缺乏为怪。我尽量避开那些关于人和机器的本质的模糊不清的形而上学问题,便于向人们展示人们所不理解的关于计算的理论局限性方面的问题。我要讲述图灵通用计算机的惊人之处-
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—:计算机科学家认为,他们将可以证明某些仅仅在探究阶段的计算问题-—包括旅行推销员在一连串的城市之间要选择的最短道路的问题——从来没有被计算机(或数学家)有效地解决。从理论转移到理论,我特意检验了汉斯·伯林纳和丹尼·希尔设计的对弈机和通用计算机,使“三个臭皮匠,顶过诸葛亮",但这两种机器的性能在某些领域,已经超过了传统计算机。
从根本上说,旅行推销员问题无疑是数学问题,可是实际上已证明,,我将介绍一种出如今设计选举系统或分配代表的问题中的类似的解决方法。从绝对意义上说,,数学证明了,它对创始一个完善的民主选举制在理论上无益,尽管缺乏完善的民主体制,但数学为公正的选举制和国会的公正分配方法指出了道路。
传说阿基米德是在一时的愤怒之中设计出一个关于牧牛的极其困难的数字问题。他的报复一直持续了22个世纪,直到1981年,使用刚诞生的一台巨型计算机才彻底解决了这一问题。牧牛的问题多少有些编造的味道。但是,面对阿基米德的报复,一代代数学家所感受到的挫折常常类似于那些比较自然地出现的较简单的数学问题所造成的报复。这种数学本身造成的报复看来还没有迹象会消退。