文档介绍：该【高等代数试题五 】是由【guoxiachuanyue】上传分享，文档一共【46】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【高等代数试题五 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。判断题
向量空间
(1)平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法:k。a=a,keR,
作成实数域R上
的向量空间.
(2)平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法:k。a=0,keR,
作成实数域R上
的向量空间.
().
(3)
一个过原点的平面上所有向量的集合是V的子空间.
3
().
(4)
所有n阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间M(R)的子空间.
n
).
(5)
{(x,x,…,x)I£x=1,xeR}为Rn的子空间.
12nii
i=1
).
(6)
所有n阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间M(R)的子空间.
n
).
(7)
{(x,0,…,0,x)Ix,xeR}为Rn的子空间.
1n1n
).
⑻若a,a,a,a是数域F上的4维向量空间V的一组基,那么a,a,a+a,a+a
123412233
是V的一组基.
).
(9)n维向量空间V的任意n个线性无关的向量都可构成V的一个基.
).
(10)设a,a,…,a是向量空间V中n个向量,
12n
且V中每一个向量都可由a,a,…,a
12
线性表示,则a,a,…,a是V的一组基.
12n
).
(11)设a,a,…,a是向量空间V的一个基,
12n
如果卩,卩,…,卩
12
与a,a,…,a
12
等价,则
卩,卩,…,卩也是V的一个基.
12n
().
(12)x3关于基x3,x3+x,x2+1,x+1的坐标为(1,1,0,0).
().
(13)设V,V,…,V为n维空间V的子空间,
12s
V=V+V+…+
12
dimV+dimV+…+dimV=n,则V+V+…+V为直和.
12s12s
().
(14)设V,V,…,V为n维空间V的子空间,且
12s
V=V+V+…+
12
vnv=0,(V+v)nv=0,…,(v+v+…+v)nv=0,
1212312S-1s
则V+V+…+V为直和.
12s
().
设V,V,…,V为n维空间V的子空间,且V=V+V+…+
2s12s
n(工V)={0},则V+V+…+V为直和.().
ij12s
j丰i
设V,V,…,V为n维空间V的子空间,且V=V+V+…+
12s12s
n(V)={0},i丰j,则V+V+…+V为直和.().
ij12s
设V,V,…,V为n维空间V的子空间,且V=V+V+…+
12s12s
().
的,则V+V+…+V为直和.
12s
设a,a,…,a是向量空间V的一个基,f是V到W的一个同构映射,则W的一个
12n
().
基是f(a),f(a),…,f(a).
12n
设V是数域F上的n维向量空间,若向量空间V与W同构,那么W也是数域F上
的n维向量空间.().
把同构的子空间算作一类,n维向量空间的子空间能分成n类.().
答案(1)错误(2)错误(3)正确(4)错误(5)错误(6)正确(7)正确(8)正确(9)
正确(10)错误(11)正确(12)错误(13)正确(14)正确(15)正确(16)错误(17)正确
(18)正确(19正)确(20错)误
二填空题
(1)全体实对称矩阵,对矩阵的作成实数域R上的向量空间.
⑵全体正实数的集合R+,对加法和纯量乘法a㊉b=ab,k。a=a^,构成R上的向量空间.
则此空间的零向量为___.
⑶全体正实数的集合R+,对加法和纯量乘法a㊉b=ab,k。a=ak,+的负向量为.
全体实二元数组对于如下定义的运算:
(a,b㊉(c,d=)c+b+dac),
k(k—1)
k。(ab)=kakb+a2),
2
•
全体实二元数组对于如下定义的运算:
(a,b㊉(?,d=)+ic+b+dac),
k(k—1)
k。(ab)=kakb+a2),
2
(a,b)的负向量为•
数域F上一切次数<n的多项式添加零多项式构成的向量空间F[x]维数等于.
n
任一个有限维的向量空间的基的,但任两个基所含向量个数是.
复数域C作为实数域R上的向量空间,维数等于,它的一个基为.
复数域C看成它本身上的向量空间,维数等于,它的一个基为.
实数域R上的全体n阶上三角形矩阵,对矩阵的加法和纯量乘法作成向量空间,
它的维数等于.
向量g=(0,0,0,1)关于基«=(1,1,0,1),«=(2,1,3,1),a=(1,1,0,0)
123
a=(0,1,—1,—1)的坐标为.
4
x2+2x+3关于F[x]的一个基x3,x3+x,x2+1,x+1的坐标为.
3
三维向量空间的基a=(1,1,0),a=(1,0,1),则向量0=(2,0,0)
12
在此基下的坐标为.
V和W是数域F上的两个向量空间,V到W的映射f满足条件,就叫做一个同构映射.
数域F上任一n维向量空间V都与向量空间同构.
31
23
设V的子空间W,W,W,有WnW=WnW=WnW=0,
21323
直和.
答案
(1)加法和数量乘法(2
1)
等(8)2;1i,
(9)1;1
(1
1
⑶一(4)
a
n(n+1)0厂
2
(0,0)(5)(一a,a2一b)(6)n+1
(11)(1,0,41,0)(12)(0,0,1,
(7)不唯一,相
2(13)1,4,1)
(14)f是V
到W的双射;对任意a,卩wV,f(a+卩)=f(a)+f(卩);对任意
aeF,aeV,faa)=
aa(f(15)Fn(16不)一定是
三简答题
(1)设V=M(R).问下列集合是否为V的子空间,为什么?
n
所有行列式等于零的实n阶矩阵的集合W;
1
所有可逆的实n阶矩阵的集合W;
2
⑵设L(R)是实数域R上所有实函数的集合,对任意f,geL(R),XeR,定义
(f+g)(x)=f(x)+g(x),(九f)(x)=九f(x),xeR
对于上述运算L(R)(R)的子空间?为什么?
所有连续函数的集合W;
1
所有奇函数的集合W;
2
W={flfeL(R),f(0)=f(1)};
3
(3)下列集合是否为Rn的子空间?为什么?其中R为实数域.
1)
W
={a
(x,x,…
,x)|x+x+…+x=0,xeR};
1
12
n12ni
2)
W
={a
=(x,x,…
,x)|xx…x=0,xeR};
2
12
n12ni
3)
W
3
={a
=(x,x,…
12
,x)|每个分量x是整数};ni
⑷设A,X,b分别为数域F上mxn,nx1,mx1矩阵,问AX=b的所有解向量是F上的向量空间吗?说明理由.
下列子空间的维数是几?
L((2,-3,1),(1,4,2),(5,-2,4))匸R3;
L(x一1,1一x2,x2一x)匸F[x]
实数域R上mxn矩阵所成的向量空间M(R)的维数等于多少?写出它的一个基.
mxn
实数域R上,全体n阶对称矩阵构成的向量空间的维数是多少?
⑻若a,a,…,a是数域F上n维向量空间V的一个基,
12n
a+a,a+•…,a+a+也是Vo的—个基吗?
1223n一1nn
⑼x一1,x+2,(x一1)(x+2)是向量空间F[x]的—个基吗?2
(10)取R4的两个向量a=(1,0,1,0),a=(1,-1,2,0).求R4的一个含a,a的基.
1212
在R3中求基a=(1,0,1),a=(1,1,—1),a=(1,-1,1)至U基
123
卩=(3,0,1),卩=(2,0,0),卩=(0,2,-2)的过渡矩阵.
123
在中F4求向量g=(1,2,1,1)关于基a=(1,1,1,1),a=(1,1,-1,-1),a=(1,-1,1,-1)123
a=(1,-1,-1,1)的坐标.
4
设W表示几何空间V中过原点之某平面n的全体向量所构成的子空间,W为过原
1312
点之某平面n上的全体向量所构成的子空间,则wnw与w+w是什么?w+w能不
121212能是直和?
设W=L(a,a,a),W=L(卩,卩),求WnW和W+
**********
a=(1,2,-1,-2),a=(3,1,1,1),a=(-1,0,1,1);p=(2,5,-6,5),p=(-1,2,-7,3).
12312
证明数域F上两个有限维向量空间同构的充分必要条件是它们维数相等.
、(ab)、、、
设V={Ia,b,ceR},W={(d,e)Id,eeR},
Ibc丿
W是否同构?说明理由.
设a,a,…,a为向量空间的一个基,令p=a+a+…+a,i=1,2,…,n且
12ni12i
W=L(P).证明V=W㊉W㊉…㊉W.
ii12n
答案
(1)1),BeW,IA+B丨若未必等于零,W对加法不封闭.
111
2),IA丨工0,贝山―A|工0,但IA+(-A)|=0,对加法不封
23
闭.
(2)
W是L(R).
1
W是L(R).
2
W是L(R),且对任意f,geW,XeR,有
33
(f+g)(0)=f(0)+g(0)=f⑴+g(1)=(f+g)(1);
Xf(0)=X(f(0))=X(f(1))=(Xf)(1),
故f+g,XfeW.
3
(3)
+x+…+x=0的全体解向量.
112n
.
22
.
3
⑷当b丰0时,AX=
AX==0时,AX=0的所有解向量能构成F上的向量空间.
(5)
(2,-3,1),(1,4,2)线性无关,而(5,-2,4)=2(2,—3,1)+(1,4,2).
—1,1—x2线性无关,但(x一1)+(1—x2)+(x2—x)=0.
ijij
(R)的一个基,故M(R)的维数是mxn.
mxnmxn
E,E+E,i,j=1,2,3,…,n,i主j,为全体n阶对称矩阵构成的向量空间的一个基,
iiijji
其中共有n+1+2+…+(n—1)个向量,故此向量空间的维数旦.
2
解由
(a+a,…,a+a,a+a)=(a,…,Ax.)
12n—1nn112n
得IA1=1+(-1)n+,IA|=0,故a+a,a+a,a+a线性相关,它不构1223n1
,IA|丰0,
故a+a,a+a,a+a线性无关,它构成一个基.
1223
⑼解在基1,x,x2之下有
(x一1,x+2,x-
1》(=2))x
r-1
因上式右方的3阶矩阵为可逆,
所以x-1,x+2,(x-1)(x+2)线性无关,它是F?[x]的一个
基.
(10)解取向量8=
3
(0,0,1,0),8=(0,0,0,1),由于
4
-1
因此a,a,8,8
1
线性无关,
所以向量组是R4的一个基.
23
(11)解
(a
1
,a2a,3=)8(
18,8
,A)卩,H
31
卩,
2
=,3£
8(B,
12
推出
(卩,卩卩
12
因此所求过渡矩阵为
3=)
a,
1
a,A-1)B
2
r320、
r10、0
002
=
111
、10-2丿
J1-1丿
-1
(12)解取F4的标准基8
,82,8,8
34
.由8,8,8
12
3,84
到a,a,a,a的过渡矩阵为
1234
A=
r1
-1
-1
-1
-1
于是g=(1,2,1,1)关于基a
,a,a,a
1234
的坐标为