文档介绍：2014级趣味数学
能力训练篇
桌子上有3只杯子,杯口都向上,每次翻动2只,能否经过有限次的翻动,使得所有的杯子杯口全部朝下?
桌子上有奇数只杯子,杯口都向上,每次翻动偶数只,能否经过有限次的翻动,使得所有的杯子杯口朝下?
整数的奇偶性
偶数——,其中n是整数。
所有的偶数有:
0, ±2, ±4, ±6,…
奇数——+1表示,其中n是整数。
所有的奇数有:
±1,±3,±5,…
1、概念
2、性质
加上偶数不改变奇偶性;加上奇数改变奇偶性
乘以偶数都得到偶数;乘以奇数不改变奇偶性
若a±b为偶数,则a,b的奇偶性相同;若a±b为奇数,则a,b的奇偶性相反
奇数个奇数之和(或差)是奇数;偶数个奇数之和(或差)是偶数。
任意n个奇数的积仍是奇数,奇数的n次幂是奇数。反之,若n个数的积为奇数,则这n个数均为奇数
若任意有限个整数中至少有一个偶数,那么它们的积是偶数;反之,任意有限个整数之积是偶数,则这些因数中至少有一个偶数。
例题评析
1、设a,b,c,d均为整数,且a+b+c+d=奇数,求证:a,b,c,d至少有一个奇数
解:如果a,,b,c,d都不是奇数,则都是偶数。因此a+b+c+d=偶数,这与条件矛盾!
因此其中至少有一个奇数。
进一步可以知道,这4个数中只能有1个或者3 个奇数。
2、a,b,c,d均为整数,求证:a+b+c+d与a-b-c+d的奇偶性相同。
分析:根据性质,如果两数之和为偶数,则两数奇偶性相同。因此把a+b+c+d与a-b-c+d相加即可获得思路。
解: (a+b+c+d)+(a-b-c+d)=2(a+d)是一个偶数,因此结论成立。
3、元旦联欢会上,同学们互赠贺卡表示新年的良好祝愿。“无论人数是多少,用于交换的贺卡的张数总是偶数。”这句话正确吗?试说明你的理由。
分析:每个同学给别人一张卡片,同时也得到别人的一张。因此每个人有2 张卡片经手。设人数为n,则总的卡片数就是2n,是一个偶数。
4、设a、b、c中有2个奇数,一个偶数,试说明(a+1)(b+2)(c+3) 一定是偶数。
分析:考虑(a+1)+(b+2)+(c+3)
=(a+b+c)+6
这是一个偶数,故a+1、b+2、c+3为3 个偶数,或者2 奇1 偶,无论哪种情形,(a+1)(b+2)(c+3)都是偶数。
5、设a、b是自然数,且满足关系式123456789=(11111+a)(11111-b),说明a-b是4 的倍数。
分析:首先知道a、b都是偶数(为什么?)
(11111+a)(11111-b)
=123454321+11111(a-b)-ab
故 ab=11111(a-b)-2468 为4的倍数。