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高中数学必修+选修知识点归纳
必修1数学知识点
第一章:集合及函数概念
1、集合三要素:确定性、互异性、无序性。
2、常见集合:正整数集合:或,整数集合:,有理数集合:,实数集合:.
3、:.:.
全集、补集
()∩(B)=(A∪B)()∪()=(A∩B);;
简易逻辑:
或:有真为真,全假为假。
且:有假为假,全真为真。
非:真假相反
原命题:若P则q;逆命题:若q则p;否命题:若┑P则┑q;逆否命题:若┑q则┑p。
常用变换:
证
证:
4、设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数,在集合B中都有惟一确定的数及它对应,那么就称为集合A到集合B的一个函数,记作:.
5、定义域
值域:利用函数单调性求出所给区间的最大值及最小值,
6、函数单调性:
(1)定义法:设那么
上是增函数;
上是减函数.
步骤:取值—作差—变形—定号—判断
(2)导数法:设函数在某个区间内可导,若,则为增函数;若,则为减函数.
7、奇偶性
为偶函数:图象关于轴对称.
函数为奇函数图象关于原点对称.
若奇函数在区间上是递增函数,则在区间上也是递增函数.
若偶函数在区间上是递增函数,则在区间上是递减函数.
函数的几个重要性质:
①如果函数对于一切,都有或f(2a)(x),那函数的图象关于直线对称.
②函数及函数的图象关于直线对称;
函数及函数的图象关于直线对称;
函数及函数的图象关于坐标原点对称.
二、函数及导数
1、几种常见函数的导数
2、导数的运算法则
(1).
(2).
(3).
3、复合函数求导法则
复合函数的导数及函数的导数间的关系为,即对的导数等于对的导数及对的导数的乘积.
解题步骤:分层—层层求导—作积还原
导数的应用:
1、在点处的导数的几何意义:
函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率,相应的切线方程是.
切线方程:过点的切线方程,设切点为,则切线方程为,再将P点带入求出即可
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2、函数的极值(列表法)
(1)极值定义:
极值是在附近所有的点,都有<,则是函数的极大值;
极值是在附近所有的点,都有>,则是函数的极小值.
(2)判别方法:
①如果在附近的左侧>0,右侧<0,那么是极大值;
②如果在附近的左侧<0,右侧>0,那么是极小值.
3、求函数的最值
(1)求在内的极值(极大或者极小值)
(2)将的各极值点及比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为极小值。
函数凹凸性:
若定义在某区间上的函数,对于定义域中任意两点有
则称f(x)为凸(或凹)函数.
第二章:基本初等函数(Ⅰ)
指数及指数幂的运算
1、一般地,如果,那么叫做的次方根。其中.
2、当为奇数时,;
当为偶数时,.
3、我们规定:
4、运算性质:
指数函数及其性质
1、记住图象:
2、性质:
对数及对数运算
1、指数及对数互化式:;
2、对数恒等式:.
3、基本性质:,.
4、运算性质:当时:
5、换底公式:
6、重要公式:
7、倒数关系:.
对数函数及其性质
1、记住图象:
幂函数
1、几种幂函数的图象:
函数的应用
方程的根及函数的零点
1、方程有实根
函数的图象及轴有交点
函数有零点.
2、零点存在性定理:
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间内有零点,即存在,使得,这个也就是方程的根.
必修2数学知识点
空间几何体
球的表面积及体积:
1、线面平行:
⑴判定:平面外一条直线及此平面内的一条直线平行,则该直线及此平面平行(简称线线平行,则线面平行)。
⑵性质:一条直线及一个平面平行,则过这条直线的任一平面及此平面的交线及该直线平行(简称线面平行,则线线平行)。
2、面面平行:
⑴判定:一个平面内的两条相交直线及另一个平面平行,则这两个平面平行(简称线面平行,则面面平行)。
⑵性质:如果两个平行平面同时及第三个平面相交,那么它们的交线平行(简称面面平行,则线线平行)。
3、线面垂直:
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⑴定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么就说这条直线及这个平面垂直。
⑵判定:一条直线及一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线及此平面垂直(简称线线垂直,则线面垂直)。
⑶性质:垂直于同一个平面的两条直线平行。
4、面面垂直:
⑴定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。
⑵判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直(简称线面垂直,则面面垂直)。
⑶性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。(简称面面垂直,则线面垂直)。
做题技巧:
证明线面平行:在平面内寻找及所求平行的直线
▲题目中若有中点,看所求平面中的边是否有含某个平行四边形对角线,若有则连接对角线构成中位线
▲利用线面平行证明线线平行
证明线面垂直:直线垂直平面内两个相交直线
▲题目中给定边的值,利用勾股定理
▲直棱柱-棱平行且垂直地面
▲垂直投影的直线垂直原线
▲两个平面垂直,垂直交线的直线垂直另一个面
第三章:直线及方程
1、倾斜角及斜率:
2、直线方程:
⑴点斜式:
⑵斜截式:
⑶两点式:
⑷截距式:
⑸一般式:
3、对于直线:
有:
⑵及相交;
⑶及重合;
4、对于直线:(重点)
有:
⑴;(两直线平行,系数交叉相乘差为零)
⑵及相交;
⑶及重合;
⑷.(两直线垂直,对应相乘及相等)
5、两点间距离公式:(重点)
6、点到直线距离公式:(重点)
7、两平行线间的距离公式:(重点)
:及:平行,则
第四章:圆及方程
1、圆的方程:
⑴标准方程:
其中圆心为,半径为.
⑵一般方程:.
其中圆心为,半径为.
2、直线及圆的位置关系
直线及圆的位置关系有三种:
弦长公式:(重点)
3、空间中两点间距离公式:
必修3数学知识点
算法案例:
①辗转相除法—结果是以相除余数为0而得到
利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下:
ⅰ):用较大的数m除以较小的数n得到一个商及一个余数;
ⅱ):若=0,则n为m,n的最大公约数;若≠0,则用除数n除以余数
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得到一个商及一个余数;
ⅲ):若=0,则为m,n的最大公约数;若≠0,则用除数除以余数得到一个商及一个余数;……
依次计算直至=0,此时所得到的即为所求的最大公约数。
②更相减损术—结果是以减数及差相等而得到
利用更相减损术求最大公约数的步骤如下:
ⅰ):任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用2约简;若不是,执行第二步。
ⅱ):以较大的数减去较小的数,接着把较小的数及所得的差比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。
③进位制
十进制数化为k进制数—除k取余法
k进制数化为十进制数
第二章:统计
1、抽样方法:
①简单随机抽样(总体个数较少)
②系统抽样(总体个数较多)
③分层抽样(总体中差异明显)
注意:在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本,每个个体被抽到的机会(概率)均为。
2、总体分布的估计:
⑴一表二图:
①频率分布表——数据详实
②频率分布直方图——分布直观
③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势
注:总体分布的密度曲线及横轴围成的面积为1。
⑵茎叶图:(重点)
①茎叶图适用于数据较少的情况,从中便于看出数据的分布,以及中位数、众位数等。
②个位数为叶,十位数为茎,右侧数据按照从小到大书写,相同的数据重复写。
3、总体特征数的估计:
⑴平均数:;
取值为的频率分别为,则其平均数为;
注意:频率分布表计算平均数要取组中值。
⑵方差及标准差:一组样本数据
方差:;
标准差:
注:方差及标准差越小,说明样本数据越稳定。
平均数反映数据总体水平;方差及标准差反映数据的稳定水平。
第三章:概率
1、随机事件及其概率:
⑴事件:试验的每一种可能的结果,用大写英文字母表示;
⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点;
⑶随机事件A的概率:.
2、古典概型:
⑴基本事件:一次试验中可能出现的每一个基本结果;
⑵古典概型的特点:
①所有的基本事件只有有限个;
②每个基本事件都是等可能发生。
⑶古典概型概率计算公式:一次试验的等可能基本事件共有n个,事件A包含了其中的m个基本事件,则事件A发生的概率.
3、几何概型:
⑴几何概型的特点:
①所有的基本事件是无限个;
②每个基本事件都是等可能发生。
⑵几何概型概率计算公式:;
其中测度根据题目确定,一般为线段、角度、面积、体积等。
4、互斥事件:
⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件;
⑵如果事件任意两个都是互斥事件,则称事件彼此互斥。
⑶如果事件A,B互斥,那么事件发生的概率,等于事件A,B发生的概率的及,
即:
⑷如果事件彼此互斥,则有:
⑸对立事件:两个互斥事件中必有一个要发生,则称这两个事件为对立事件。
①事件的对立事件记作
②对立事件一定是互斥事件,互斥事件未必是对立事件。
必修4数学知识点
第一章:三角函数
任意角
1、正角、负角、零角、象限角的概念.
2、及角终边相同的角的集合:
弧度制
1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
2、.
3、弧长公式:.
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4、扇形面积公式:.
任意角的三角函数
1、设是一个任意角,它的终边及单位圆交于点,那么:
2、设点为角终边上任意一点,那么:(设)
3、,,在四个象限的符号及三角函数线的画法.
正弦线:;
余弦线:;
正切线:
同角三角函数的基本关系式
1、平方关系:.
2、商数关系:.
3、倒数关系:
三角函数的诱导公式
奇变偶不变,符号看象限
1、诱导公式一:
(其中:)
2、诱导公式二:
3、诱导公式三:(奇偶性)
4、诱导公式四:
(互补两角正弦值相等,余弦值互为相反数)
5、诱导公式五:
(互余两角:一个角正弦值等于另一个角余弦值)
6、诱导公式六:
§、正弦、余弦函数的图象及性质
1、记住正弦、余弦函数图象:
2、会用五点法作图.
在上的五个关键点为:
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§、正切函数的图象及性质
1、记住正切函数的图象:
2、记住余切函数的图象:
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函数求解题目:已知
第一类型:求解它的单调区间
求出x的范围即可
注意:若题目中是余弦,则代换相应余弦的单调区间
第二类型:给定一个区间求解值域或者最值
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图表归纳:正弦、余弦、正切函数的图像及其性质
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图象
定义域
值域
[-1,1]
[-1,1]
最值
无
周期性
奇偶性
奇
偶
奇
单调性
(重点)
在上单调递增
在上单调递减
在上单调递增
在上单调递减
在上单调递增
对称性
(重点)
对称轴方程:
对称中心
对称轴方程:
对称中心
无对称轴
对称中心
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§、函数的图象
1、对于函数:
有:振幅A,周期,初相,相位,频率.
2、能够讲出函数的图象及
的图象之间的平移伸缩变换关系.
先平移后伸缩:
平移个单位
(左加右减)
横坐标不变
纵坐标变为原来的A倍
纵坐标不变
横坐标变为原来的倍
平移个单位
(上加下减)
先伸缩后平移:
横坐标不变
纵坐标变为原来的A倍
纵坐标不变
横坐标变为原来的倍
平移个单位
(左加右减)
平移个单位
(上加下减)
3、三角函数的周期,对称轴及对称中心
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函数,x∈R及函数,x∈R(A,,为常数,且A≠0)的周期;函数,(A,ω,为常数,且A≠0)的周期.
第三章、三角恒等变换
记住15°的三角函数值:
两角及及差的正弦、余弦、正切公式
1、
2、
3、
4、
5、.
6、.
二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、
变形:.
2、
.变形如下:
升幂公式:
降幂公式:
3、.
4、
简单的三角恒等变换
辅助角公式
(其中辅助角定,).
第二章:平面向量
向量的几何表示
1、带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.
2、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(或共线向量).
规定:零向量及任意向量平行.
1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
三角形加法法则及平行四边形加法法则(首尾相连).
2、≤.
2、三角形减法法则及平行四边形减法法则.(起点相同,从减向量指向被减向量)
向量数乘运算及其几何意义
1、规定:实数及向量的积是一个向量,:,它的长度及方向规定如下:
2、平面向量共线定理:向量及共线,当且仅当有唯一一个实数,使.
当时,的方向及的方向相同;当时,的方向及的方向相反.
平面向量基本定理
1、平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内任一向量,有且只有一对实数,使.
平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量的坐标运算
1、(小写字母表示向量)设,则:
2、(两个点表示向量)设,则:
平面向量共线的坐标表示
1、设,则
⑴线段中点坐标为,
⑵△的重心坐标为.
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平面向量数量积的物理背景及其含义
1、(1)重点
2、在方向上的投影为:.
3、.4、.
5、.
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1、设,则:
⑴(2)重点
两个向量垂直,对应坐标积的及为零
两个向量平行,坐标交叉相乘差为零
2、设,则:
两向量的夹角公式根据(1)、(2)求解两个向量的夹角
重点
4、点的平移公式
平移前的点为(原坐标),平移后的对应点为(新坐标),平移向量为,则
函数的图像按向量平移后的图像的解析式为
必修5数学知识点
第一章:解三角形
考察:
一、及差化积公式:
1、
2、
3、
4、
二、180度诱导公式、三角形内角及180、
(互补两角正弦值相等,余弦值互为相反数)
三、正弦定理、余弦定理
求解出三角形三个边,三个角的具体值。
1、正弦定理:
(其中为外接圆的半径)
用途:⑴已知三角形两角及任一边,求其它元素;
⑵已知三角形两边及其中一边的对角,求其它元素。
2、余弦定理:
用途:⑴已知三角形两边及其夹角,求其它元素;
⑵已知三角形三边,求其它元素。
3、三角形面积公式:
4、三角形内角及定理:
在△中,有
5、一个常用结论:
在中,
若特别注意,在三角函数中,不成立。
做题技巧:
1、题目中的等式只含有正弦函数及边的关系:
①求角度值:利用正弦定理:
将等式中的边化成正弦函数,在结合及差化积公式
②求边的长度:利用正弦定理:
将正弦值转化成边。
2、题目中出现三角函数或者边的平方的关系,利用余弦定理求解
第二章:数列
数列中及之间的关系:
注意通项能否合并。
(一)等差数列:
定义:如果一个数列从第2项起,每一项及它的前一项的差等于同一个常数,即-,(n≥2,n∈N),那么这个数列就叫做等差数列。
:若三数成等差数列
2、通项公式:
或
则
3、前项及公式:
▲若等差数列的前项及,则、、
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…是等差数列。
常用性质:
▲下标为等差数列的项,仍组成等差数列;
▲数列(为常数)仍为等差数列;
通项公式的求解:
(二)等比数列
⑴定义:如果一个数列从第2项起,每一项及它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列。
1、等比中项:若三数成等比数列(同号)。反之不一定成立。
2、通项公式:
若,
则;
3、前项及公式:
若等比数列的前项及,则、、…是等比数列.
常见的拆项公式有:
记住常见数列的前项及:
第三章:不等式
§、不等关系及不等式
1、不等式的基本性质
①(对称性)
②(传递性)
③(可加性)
(同向可加性)
(异向可减性)
④(可积性)
⑤(同向正数可乘性)
(异向正数可除性)
⑥(平方法则)
⑦(开方法则)
⑧(倒数法则)
2、几个重要不等式
①,(当且仅当时取号).变形公式:
②(基本不等式),(当且仅当时取到等号).
变形公式:
用基本不等式求最值时(积定及最小,及定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.
③(三个正数的算术—几何平均不等式)(当且仅当时取到等号).
(当且仅当时取到等号).
(当且仅当时取到等号).
⑥(当仅当时取等号)
(当仅当时取等号)
其中
规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小.
⑨绝对值三角不等式
3、几个著名不等式
①平均不等式:
,(当且仅当时取号).
(即调及平均几何平均算术平均平方平均).
变形公式:
②幂平均不等式:
③二维形式的三角不等式:
④二维形式的柯西不等式:当且仅当时,等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式:
⑥一般形式的柯西不等式:
4、不等式证明的几种常用方法
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常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;
其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等.
常见不等式的放缩方法:
①舍去或加上一些项,如
②将分子或分母放大(缩小),如
等.
5、一元二次不等式的解法重点
求一元二次不等式
解集的步骤:
一化:化二次项前的系数为正数.
二判:判断对应方程的根.
三求:求对应方程的根.
四画:画出对应函数的图象.
五解集:根据图象写出不等式的解集.
规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边.
6、高次不等式的解法:穿根法.
分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿(奇过偶不过),结合原式不等号的方向,写出不等式的解集.
7、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则
(时同理)
规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
规律:把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小”的一边分析求解.
规律:关键是去掉绝对值的符号.
8、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法:
规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集,最后取各段的并集.
9、含参数的不等式的解法解形如且含参数的不等式时,要对参数进行分类讨论,分类讨论的标准有:⑴讨论及0的大小;⑵讨论及0的大小;⑶讨论两根的大小.
10、恒成立问题—最值问题重点
⑴不等式的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:
①当时
②当时
⑵不等式的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:
①当时
②当时
⑶恒成立
恒成立
小于等于:最大值满足条件即可
⑷恒成立
恒成立
大于等于:最小值满足条件即可
11、线性规划问题重点
⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断:
取特殊点定区域:常选原点.
即:直线定边界,分清虚实;选点定区域,
利用线性规划求目标函数为常数)
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专题二:圆锥曲线及方程
椭圆
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
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