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【方法总结】
直线与抛物线相交的问题,若直线过抛物线的焦点,可使用焦点弦长公式求弦长,利用焦点弦的特殊结论求解题目.
【典例1】如图,过抛物线y2=2PX(P>0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点,自M、N向准线L作垂线,垂足分别为M1、N1
(Ⅰ)求证:FM1⊥FN1:
(Ⅱ)记△FMM1、、△FM1N1、△FNN1的面积分别为S1、、S2、,S3,试判断S22=4S1S3是否成立,并证明你的结论。
【解析】
证法1:由抛物线的定义得
如图,设准线l与x的交点为
而
即
故
证法2:依题意,焦点为准线l的方程为
设点M,N的坐标分别为直线MN的方程为,则有
由得于是,,
,故
(Ⅱ)成立,证明如下:
证法1:设,则由抛物线的定义得
,于是
将与代入上式化简可得
,此式恒成立。
故成立。
证法2:如图,设直线M的倾角为,
则由抛物线的定义得
于是
在和中,由余弦定理可得
由(I)的结论,得
即,得证。
【结论6】问题中,所以以为AB直径的圆与准线相切
【典例2】如图,倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F,且与抛物线交于A、B两点。
(Ⅰ)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程;
(Ⅱ)若a为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2a为定值,并求此定值。
【解析】(Ⅰ)解:设抛物线的标准方程为,则,从而
因此焦点的坐标为(2,0).
又准线方程的一般式为。
从而所求准线l的方程为。
(Ⅱ)解法一:如图(21)图作AC⊥l,BD⊥l,垂足为C、D,则由抛物线的定义知
|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.
记A、B的横坐标分别为xxxz,则
|FA|=|AC|=解得,
类似地有,解得。
记直线m与AB的交点为E,则
所以。故。
解法二:设,,直线AB的斜率为,则直线方程为。
将此式代入,得,故。
记直线m与AB的交点为,则,,
故直线m的方程为.
令y=0,得P的横坐标故
。
从而为定值。
【典例3】 (1)(2021·陕西模拟)已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过F的直线与抛物线交于A,B两点,AB的中点为C,过C作抛物线准线的垂线交准线于C′,若CC′的中点为M(1,4),则p等于( )
【答案】 B
【解析】 如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),
∵M(1,4),∴y1+y2=8,
又C,F,
∴kAB=2,
∴直线AB:y=2,
代入y2=2px,
得y2-py-p2=0,
∴y1+y2=p=8.
(2)过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,若|AF|=2|BF|,则|AB|等于( )
【答案】 B
【解析】 不妨设点A在x轴的上方,如图,设A,B在准线上的射影分别为D,C,作BE⊥AD于点E,
设|BF|=m,直线l的倾斜角为θ,
则|AF|=2m,|AB|=3m,
由抛物线的定义知
|AD|=|AF|=2m,|BC|=|BF|=m,
所以cosθ==,所以tanθ=2.
则sin2θ=8cos2θ,所以sin2θ=.
由y2=4x,知2p=4,故利用弦长公式得|AB|==.
【典例4】已知抛物线C:y2=8x,P为C上位于第一象限的任一点,直线l与C相切于点P,连接PF并延长交C于点M,过P点作l的垂线交C于另一点N,求△PMN的面积S的最小值.
【解析】解 由题意知F(2,0),设P(x0,y0)(y0>0),M,
N,切线l的方程为x-x0=t(y-y0),
则=,=,
由M,F,P三点共线,可知∥,
即y0-y1=0,
因为y0≠y1,所以化简可得y0y1=-16.
由可得y2-8ty+8ty0-8x0=0,
因为直线l与抛物线相切,故Δ=64t2-32ty0+4y=0,故t=.
所以直线PN的方程为y-y0=-(x-x0),
即y0x+4y-4y0-=0,
所以点M到直线PN的距离为
d=,
将y1=-代入可得
d==,
联立消去x可得,
y0y2+32y-y-32y0=0,
所以y0+y2=-,y2=--y0,
|PN|=|y0-y2|==,
故S=d|PN|
=××
=3=3
≥3=64,
当且仅当y0=4时,“=”成立,
此时,△PMN的面积S取得最小值,为64.
【方法总结】
设AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条焦点弦,焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2),则
(1)x1x2=,y1y2=-p2.
(2)+=.
(3)|AB|=(α为弦AB所在直线的倾斜角).
【拓展训练】
:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )
.
【答案】 D
【解析】 由已知得焦点为F,因此直线AB的方程为y=,即4x-4y-3=0.
方法一 联立直线方程与抛物线方程,
化简得4y2-12y-9=0,
故|yA-yB|==6.
因此S△OAB=|OF||yA-yB|=××6=.
方法二 联立直线方程与抛物线方程得x2-x+=0,故xA+xB=.
根据抛物线的定义有|AB|=xA+xB+p=+=12,
同时原点到直线AB的距离为d==,
因此S△OAB=|AB|·d=.
=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A,B两点,则的值等于( )
.
【答案】 A
【解析】 记抛物线y2=2px的准线为l′,如图,作AA1⊥l′,BB1⊥l′,AC⊥BB1,垂足分别是A1,B1,C,则
cos∠ABB1==
=,
即cos60°==,
得=.
:y2=8x的焦点为F,点M(-2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若∠AMB=90°,则k等于( )
【答案】 D
【解析】 抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),
由题意可知直线AB的斜率一定存在,
所以设直线方程为y=k(x-2)(k≠0),
代入抛物线方程可得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=4+,x1x2=4,
所以y1+y2=,y1y2=-16,
因为∠AMB=90°,所以M·M=(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=-+4=0,
解得k=2,故选D.
,已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F右侧,记△AFG,△CQG的面积为S1,S2.
(1)求p的值及抛物线的准线方程;
(2)求的最小值及此时点G的坐标.
【解析】解 (1)由题意可得=1,则p=2,2p=4,
抛物线方程为y2=4x,准线方程为x=-1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
直线AB的方程为y=k(x-1),k>0,
与抛物线方程y2=4x联立可得,
k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
故x1+x2=2+,x1x2=1,
y1+y2=k(x1+x2-2)=,
y1y2=-×=-4,
设C(x3,y3),由重心坐标公式可得,
xG==,
yG==,
令yG=0可得,y3=-,则x3==,
即xG==,
由斜率公式可得,kAC===,
直线AC的方程为y-y3=(x-x3),
令y=0,可得xQ=x3+=+=-,
故S1=×(xG-xF)×y1=××y1=×,
且S2=×(xQ-xG)×(-y3)
=-,
由y3=-,代入上式可得S2=,
由y1+y2=,y1y2=-4可得
y1-=,则k=,
则==
=2-
≥2-
=1+,
当且仅当y-8=,即y=8+4,y1=+时等号成立,此时k==,xG==2,
则点G的坐标为(2,0).