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一、质数、倍数、倍数、约数、整除问题
1、质数(素数)
①只有1和它自己两个约数的整数称为质数;
100之内质数共25个:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、
43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97;
③最小的巧合数是4,最小的奇合数是9;
④0、1既不是质数也不是合数。
⑤每一个合数分解质因数形式是独一的。
⑥公因数只有1的两个非零自然数,叫做互质数。
2、倍数、约数性质
①一个数最小的倍数是这个数自己,没有最大的倍数;
②“0”没有约数和倍数,一般以为“1”只有约数“1”;
③若是几个数都是某一个数的倍数,那么这几个数的组合也是某个数的倍数。
比如:26、39是13的倍数,则2639也是13的倍数。
④一般的数字的约数的个数都是偶数个,可是平方数的约数个数是奇数个。
比如:“9”有3个约数(1、3、9),“16”有5个约数(1、二、4、8、16)。
⑤约数和倍数一定重申出是哪个数字的约数和倍数。
⑥一个数既是它自己的倍数又是它自己的约数。
⑦一个数假如有偶约数,则这个数必为偶数。
3、整除性质
①能被“2”整除的数的特色:末端数字是“
0、2、4、6、8”;
②能被“3(9)”整除的数的特色:各位上数字和能被“
3(9)”整除;
③能被“4(25)”整除的数的特色:末端两位能被“
4(25)”整除;
④能被“5”整除的数的特色:末端数字是“
0或5”;
⑤能被“8(125)”整除的数的特色:这个数末三位能被“
8(125)”整除;
⑥能被“7、11、13”整除的数的特色:这个数从右向左每三位分红一节,用奇
数节的和减去偶数节的和,所获得的差能被“
7、11、13”整除。假如求余数时,
则奇数节和小于偶数节和时,需要将奇数节和加上若干个“
7、11、13”,再相减。
⑦能被“11”整除的数的另一个特色:这个数奇数位数字和与偶数位数字和的差
能被11整除。比如:“122518”剖析:奇数位数字和
1+2+1=4,偶数位数字和
2+5+8=15,差为11,说明这个数能够被11整除。假如求余数时,则奇数位数字和
小于偶数位数字和时,需要将奇数位和加上若干个“11”,再相减。
二、条约数、公倍数
1、最大条约数:公有质因数的乘积。往常用“()”表示。
2、最小公倍数:公有质因数和独有公因数的连乘积。用“[]”表示。
3、两个自然数的最小条约数和最大公倍数的乘积=两个自然数的乘积
4、假如两个自然数是互质数,那么它们的最大条约数是1,最小公倍数是这两个
数的乘积。比如8和9,它们是互质数,因此(8,9)=1,[8,9]=72。
5、假如两个自然数中,较大数是较小数的倍数,那么较小数就是这两个数的最大
条约数,较大数就是这两个数的最小公倍数。比如18与3,18÷3=6,因此(18,
3)=3,[18,3]=18。
6、两个整数分别除以它们的最大条约数,所得的商是互质数。比如
8和14分别
除以它们的最大条约数2,所得的商分别为4和7,那么4和7是互质数。
▲7、依据互质数的意义,相邻的自然数是互质数,互质数的最大公因数是1,最
小公倍数是它们的乘积。
8、解题思路和方法
(1)求条约数和公倍数一般采纳短除法。
(2)关于比较大的两个数求最大条约数(最大条约数一般大于11),也能够采纳
展转相除法。展转相除法步骤:用大数(被除数)除以小数(除数)获得余数,
所求最大条约数就是除数与余数的最大条约数,再次相除,挨次类推,直到余数
为0,最后一个除数既是所求的最大条约数。注意:用展转相除法求几个数的最大条约数,能够先求出此中随意两个数的最大条约数,再求这个最大条约数与第三
个数的最大条约数,挨次求下去,直到最后一个数为止。最后所得的那个最大条约数,就是全部这些数的最大条约数。
例:求319、377的最大条约数,即求(319,377)。解:利用展转相除法
319,377)=(377,319)
377÷319=1余58
(377,319
)=(319,58)
319÷58=5余29
(319,58)=(58,29)
58÷29=2余0
(58,29
)=29
因此(319,377)=29
三、和差、和倍
1、和差:已知两个数的和与差,求这两个数各是多少,这种应用题叫和差问题(已
知顺流和逆水速度求船速和水速)。
数目关系:大数=(和+差)÷2;小数=(和-差)÷2
2、和倍:有两个数的和及大数是小数的几倍(或许小数是大数的几分之几),要
求这两个数各是多少,这种应用题叫做和倍问题。
数目关系:两个数的和÷(几倍+1)=较小的数;较小的数×倍数=较大的数
四、差倍、倍比
1、差倍:有两个数的差及大数是小数的几倍(或许小数是大数的几分之几),要
求这两个数各是多少,这种应用题叫做差倍问题。
数目关系:两个数的差÷(几倍-1)=较小的数;较小的数×倍数=较大的数
2、倍比:有两个已知的同类量,此中一个量是另一个量的若干倍,先求出这个倍
数,再用倍比的方法算出要求的数,这种应用题叫做倍比问题。
数目关系:总量÷一个数目=倍数;另一个数目×倍数=另一总量
五、方程求解问题
1、定义:把应用题中的未知数用字母x取代,依据等量关系列出含有未知数的等
式(方程),经过解这个方程而获得的答案,这个过程叫做列方程解应用题。
2、数目关系:方程等号两边数目相等。
3、解题过程能够归纳为“审、设、列、解、验、答”六字法
①审:仔细审题,弄清应用题中的已知量和未知量各是什么,问题中的等量
关系是什么。
②设:把应用题中的未知数设为x。
③列:依据所设的未知数和题目中的已知条件,依据等量关系列出方程。
④解:求出所列方程的解。
⑤验:查验方程的解能否正确,能否切合题意。
⑥答:回答题目所问,也就是写出答问的话。
在列方程解应用题是,一般设未知数、列方程、解方程、答语。一定查验。
注意:设未知数时要在X后边写上单位名称,在方程中已知数和未知数都不带单位名称,求出的X值也不带单位名称,在答语中要写出单位名称。六、年纪问题
解题重点:牢牢抓住两人的年纪差不变,两人年纪之间的倍数关系跟着年纪的增
长在发生变化。
七、鸡兔同笼
1、一般用假定法,能够先假定都是鸡,也能够假定都是兔。假如先假定都是鸡,
而后以兔换鸡。假如先假定都是兔,而后以鸡换兔。这种问题也叫置换问题。通
过先假定,再置换,使问题解决。
2、假如能用方程x,y二元一次方程求解,最好使用方程求解。
八、相遇问题
1、“相遇”广义上讲,只需两人在同一地址就算相遇。分两种状况:(1)迎面相遇(即我们平常说的相遇问题)(2)追及相遇(即我们平常所说的追及问题)。一般题目说的相遇,我们默认是迎面相遇,若题目说只需两人在同一地址就算作一次相遇,那么两种状况都要算。
2、数目关系:
①总行程=(甲速+乙速)×相遇时间
②甲乙两人从同一同点出发来回运动多次相遇问题,每迎面相遇一次,两人一
起走了2个全程。
③甲乙两人从两头点出发来回运动多次相遇问题,第一次迎面相遇时,两人走
了1个全程,以后没迎面相遇一次,两人一同走了2个全程。
3、柳卡图(认识):柳卡图也叫折线图,解决复杂的行程问题(多次相遇问题)
的有效方法。折线图常常能够清楚的表现运动过程中的“相遇次数”,“相遇地址”,以及“由相遇的地址求出全程”。使用折线表示图法一般需要我们知道每个物体走完整程所用的时间是多少。
九、追及问题
数目关系:
①追实时间=追及行程÷(迅速-慢速)
②追及行程=(迅速-乙速)×追实时间
十、列车问题
1、火车过桥:过桥时间=(车长+桥长)÷车速
2、火车追及:追实时间=(甲车长+乙车长+距离)÷(甲车速-乙车速)
3、火车相遇:相遇时间=(甲车长+乙车长+距离)÷(甲车速+乙车速)
十一、行船问题
1、定义:行船问题也就是与航行有关的问题。解答这种问题要弄清船速与水速,
船速是船只自己航行的速度,也就是船只在静水中航行的速度;水速是水流的速
度;船只顺流航行的速度(顺流速度)是船速和水速之和;船只逆水航行的速度
(逆水速度)是船速和水速之差。
2、数目关系:
①船速=(顺流速度+逆水速度)÷2
②水速=(顺流速度-逆水速度)÷2
十二、盈亏问题
1、定义:依据必定的人数,分派必定的物件,在两次分派中,挨次有余(盈),
挨次不足(亏),或两次都有余,或两次都不足,求人数或物件数,这种应用题叫
做盈亏问题。
2、数目关系:
①两次分派中,假如一次盈一次亏,则有:
参加分派总人数=(盈+亏)÷分派差
②两次分派都是盈或都是亏,则有:
参加分派总人数=(大盈-小盈)÷分派差
参加分派总人数=(大亏-小亏)÷分派差
十三、工程问题
1、定义:工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这种
问题在已知条件中经常不给出工作量的详细数目,只提出“一项工程”、“一块土
地”、“一件工作”等,在解题时候,经常用单位“1”表示工作总量。
2、数目关系:解答工程问题的重点是把工作总量看作“1”,工作效率就是工作时
间的倒数(它表示单位时间内达成工作总量的几分之几),从而就能够依据工作量、
工作效率、工作时间三者之间关系列出算式。
①工作量=工作效率×工作时间
②工作时间=工作量÷工作效率
③工作时间=总工作量÷(甲工作效率+乙工作效率)
十四、正反比率问题
1、正比率关系:两种有关系的量,一种量变化,另一种辆也跟着变化,假如这两
种量中向对应的两个数的比值,即商必定,那么这两种量就叫做成正比率的量,
它们的关系叫做正比率关系。
2、反比率关系:两种有关系的量,一种量变化,另一种量也跟着变化,假如这两
种量中对应的两个数的积必定,这两种量就叫做成反比率的量,它们的关系叫做
反比率关系。
十五、按比率分派问题
比的前后项相加求出总份数,各部分占总份数的几分之几,再用总量乘以几
分之几即得各部重量的值。
十六、百分比问题
1、定义:百分数又叫百分率。是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数
是一种特别的分数。分数经常能够通分、约分,而百分数则无需约分。分数的分
子、分母一定是自然数,百分数的分子能够是小数;百分数有一个特意的记号“%”
2、数目关系:
①百分数=比较量÷标准量
②标准量=比较量÷百分数
十七、商品收益问题
1、定义:在生产经营中,销售价钱高于进货价的叫盈余,低于进货价的叫赔本,
主要包含成本、收益、收益率和损失、损失率等方面的问题。
2、数目关系:
①收益=售价-进货价
②收益率=(售价-进货价)÷进货价×100%
③售价=进货价×(1+收益率)
④损失=进货价-售价
⑤损失率=(进货价-售价)÷进货价×100%
十八、存款利率问题
1、定义:把钱存入银行是有必定利息的,利息的多少,与本金、利率、存期这三
个要素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利
息占本金的百分数;月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。
2、数目关系:
①年(月)利率=利息÷本金÷存款年(月)数×100%
②利息=本金×存款年(月)数×年(月)利率
③本利和=本金+利息=本金×[1+年(月)利率×存款年(月)数]
十九、溶液浓度问题
1、定义:这种问题研究的主若是溶剂(水或其余液体)、溶质、溶液这几个量的
关系。比如,水是一种溶剂,被溶解的东西叫溶质,溶解后的混淆物叫溶液。溶
质的量在溶液中的量占百分比叫浓度,也叫百分比浓度。
2、数目关系:
①溶液=溶剂+溶质
②浓度=溶质÷溶液×100%
3、一般随外界要素的变化,溶液的溶剂发生变化,溶质的量不变。
二十、牛吃草问题
1、“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题,也叫“牛顿问题”。这种问题的特
点在于要考虑草边吃边增添(或边吃边减少)这个要素。
2、数目关系:
①草总量=原有草量+草每日增添量×天数
②草总量=原有草量-草每日减少许×天数
二十一、植树问题
1、定义:按相等的距离植树,在距离、棵树、棵距这3个量之间,已知此中两个
量,求第三个量,这种应用题叫做植树问题。
2、数目关系:
①线形植树棵树=距离÷棵距+1
②环形植树棵树=距离÷棵距
③方形植树棵树=每边棵树×4-4
④三角形植树棵树=每边棵树×3-3
⑤面积植树棵树=面积÷(棵距×行距)
二十二、方阵问题
1、定义:将若干人或物依必定条件排成正方形(简称方阵),依据已知条件求总
人数或总物数,这种应用题叫做方阵问题。
2、数目关系:
①方阵每边人数与周围人数关系:
周围人数=(每边人数-1)×4
每边人数=周围人数÷4+1
②方阵总人数的求法:
实心方阵:总人数=每边人数×每边人数
空心方阵:总人数=(外边人数)2-(内边人数)2
内边人数=外边人数-层数×2(实质无人)
内层每边人数=内层人数÷4-1(实质无人)
③若将空心方阵分红四个相等的矩形计算,则: