初中数学代数知识点.pdf

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初中代数专题复面直角坐标系
一、定义、组成
1、定义:具有公共原点并且互相垂直的两条数轴组成平面直角坐标系
2、组成:y
正3
半2
轴
第二象限1第一象限
-6-4负半轴-2O正2半轴46x
-1
第三象限负-2第四象限
半-3
轴
-4

二、平面直角坐标系中点的坐标的确定方法
2
(-1,)(1,)
G1(0,1)

-4-3-2-1O123x4
(-1,0)BA(1,0)
-
H-1(-1,0)
-
三、数形结合(-1,-)EF(1,-)
-2
1、如图若点M(a,b),则:
OM=a2b2
y4
AM=b3
2
1
BM=aAOx
-8-6-4-22468
b-1
aB
2、若A(x1,y1)B(x1,y2)-2
M(a,b)-3
22
则:AB=(x-)2x(1x-x)21-4
四、平面直角坐标系内点的坐标的特点
1、各象限内点的坐标
y2

1
(-,+)(+,+)
-3-2-1123x
O
-
(-,-)-1(+,-)
-
-2:.
2、坐标轴上点的坐标:
x轴上的点(x,0)y轴上的点(0,y)〖注意:坐标轴上的点不属于任何象限〗
3、关于对称点的坐标的特点
规律:关于哪轴对称,哪轴上的坐标不变,另一坐标互为相反数或和为零;关于原点对称的两点的横纵坐标均互为相反数。如3中图示
4、平行于x轴的直线上的点的坐标的特点:
横坐标为全体实数纵坐标为一常数不变a.。该直线可表示为:直线y=a
5、平行于y轴的直线上的点坐标的特点;
。该直线可表示为:直线x=a
6、第一、三象限角平分线上的点的坐标的特点:x=y
7、第二、四象限角平分线上的点的坐标的特点:x=-y或x+y=0
五、坐标变换
1、平移规律
将点M(a,b)
〖图形的平移就是图形上的所有点按此规律平移〗
【函数图像的平移规律与其相反】
M1(a,b+4)
M3(a-4,b)M(a,b)M4(a+4)
2、图形的放大与缩小M2(a,b-4)
若图形上的点用(x,y)表示,则:
(1)若(x,y)--------(2x,y)则原图形纵向不变,横向被拉长原来的2倍
11
(2)若(x,y)---------(x,y)则原图形纵向不变,横向被压缩原来的
22
(3)若(x,y)---------(x,2y)则原图形横向不变纵向被拉长原来的2倍
11
(4)若(x,y)-------(x,y)则原图形横向不变,纵向被压缩原来的
22
(5)若(x,y)---------(2x,2y)则原图形横向、纵向均被拉长原来的2倍
111
(6)若(x,y)-------(x,y)则原图形横向、纵向均被压缩原来的
222
函数及其图像
图像
一次函数正比例函数
函数二次函数
反比例函数
方程
一、函数及其图像
1、函数:在某一变化过程中,有两个变量x和y。如果对于x的每一个值,y都有唯一的值和它相对
应,那么x叫做自变量,y叫做x的函数。
2、函数图像:在平面直角坐标系中,以x的值为横坐标,y的值为纵坐标,描出的点形成的图形叫做:.
函数的图像。
二、函数的表示方法:1、列表法2、解析法(函数关系式法)3、图像法
三、学过的函数:1、一次函数2、二次函数3、反比例函数
(一)、一次函数
1、定义:形如y=kx+b(k、b是常数k≠0)的函数叫做一次函数.
当b=0时,y=kx+b变为y=kx叫做正比例函数。〖正比例函数是一次函数的特殊形式〗
b
2、一次函数图像:过点(0、b)和点(、0)的直线
k
3、一次函数图像的性质:
(1)当k>0时,y随x的增大而增大。(2)当k<0时,y随x的增大而减小。
yy
b>0b>0
b=0xb=0
ox
o
b<0b<0
k>0k<0
4、熟练掌握:
(1)会根据k、b的符号直线在直角坐标系中的伸展方向和大致位置。
(2)会用待定系数法确定直线的解析式【两点法或一点法】
(3)会求直线与坐标轴x轴和y轴的交点坐标。【令y=0或x=0】
(4)会画一次函数图像。【用两点法列表、描点、连线】
(5)会求两条直线的交点坐标。【解方程组】
(6)会求直线与直线、直线与坐标轴围成的多边形的面积。【数形结合】
(7)在实际问题中能根据题意列出函数关系式并准确化简。【列方程】
(8)根据题意中的不等关系求出自变量x的取值范围。【列、解不等式或不等式组】
(9)会根据自变量x的取值范围求函数y的最大值和最小值。【根据增减性和端值】
(10)会求直线与双曲线或抛物线的交点坐标。【解方程组】
(二)、反比例函数
k
1、定义:形如y(k是常数k0)的函数叫做反比例函数。
x
2、图像:双曲线
3、图像的性质:
(1)当k>0时在每一象限内y随x的增大而减小(2)当k<0时在每一象限内y随x的增大而增大
88
66
44
22
-15-10-551015-15-10-551015
-2-2
-4-4
-6-6
-8-8
:.
4、熟练掌握:
(1)会根据k的符号双曲线所在象限【根据性质】
(2)会用待定系数法确定双曲线的解析式【一点法】
(3)会画反比例函数的图像【列表、描点、连线】
(4)会求直线与双曲线的交点坐标【解方程组】
(5)会根据点的坐标求图形的面积【数形结合】
(6)在实际问题中要注意x>0【图像在第一象限】4
(7)会比较函数值y的大小【根据增减性或画草图】B3A6
2fx=x
(8)双曲线上一点到坐标轴的垂线段与坐标轴围成的矩形面积S=k1
-6E-4-2O2C46
-1
D-2F
-3
(三)、二次函数-4
1、定义:形如yax2bxc(a、b、是c常数a0)的函数叫做二次函数
2、形式:(1)一般形式:y=ax2+bx+c(a0)
y=ax2(a0)
y=ax2+c(a0)
y=ax2+bx(a0)
y=a(x-h)2+k(a0)
(2)顶点式:
(3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a0)
3、二次函数的图像:抛物线
4、二次函数图像的性质:
y=ax2(a0)y=a(x-h)2+k(a0)y=ax2+bx+c(a0)
解析式
a的符号a>0a<0a>0a<0a>0a<0
图像
开口方向向上向下向上向下向上向下
对称轴直线x=0直线x=0直线x=h直线x=hbb
直线x=直线x=
2a2a
b4acb2b4acb2
顶点坐标(0,0)(0,0)(h,k)(h,k)()()
2a4a2a4a
bb
当x=时当x=时
当x=0时当x=0时当x=h时当x=h时2a2a
最值y最小值y最大值y最小值y最大值22
4acb4acb
=0=0=k=ky最小=y最大=
4a4a
当x<0时当x<0时当x<h时当x<h时bb
当x<时y随x当x<时y随x
y随x的y随x的y随x的y随x的2a2a
增减性增大而减小增大而增大增大而减小增大而增大增大而减小增大而增大:.
当x>0时当x>0时当x>h时当x>h时bb
当x>时y随x当x>时y随x
y随x的y随x的y随x的y随x的2a2a
增大而增大增大而减小增大而增大增大而减小增大而增大增大而减小
5、二次函数yax2bxc(a0)与一元二次方程ax2bxc0(a0)间的关系:
抛物线yax2bxc(a0)与x轴交点的横坐标是ax2bxc0(a0)的两个根。
因此:当>0时,抛物线与x轴有两个交点
当=0时,抛物线与x轴有一个交点
当<0时,抛物线与x轴没有交点
6、抛物线与y轴的交点坐标:(0,c)
7、抛物线的平移规律
222
将yax(a0)平移可得到抛物线ya(xh)k(a0)或yaxbxc(a0)
规律如下:在x上〖左加右减〗,
在y上〖上减下加〗或在“=”右边〖上加下减〗
举例:
上移4个单位2
y=2(x-3)+4
右移3个单位y=2(x-3)2
y=2(x-3)2-4
y=2x2
下移4个单位
y=2(x+3)2-4
左移3个单位y=2(x+3)2
y=2(x-3)2+4
上移4个单位
8、根据图像判断以下代数式的符号
2
2b4acb
a、b、c、b4ac、a+b+c、a-b+c、、
2a4a
根据开口方向a
b
b
根据对称轴与y轴的位置-
2a
4ac-b2
根据顶点与x轴的位置
4a
根据抛物线与y轴交点的位置c
b2-4ac
根据抛物线与x轴交点的个数
根据x=1时y的值a+b+c、a-b+c
9、确定二次函数解析式的方法
(1)根据题意中的相等关系列出方程后整理:.
(2)待定系数法:若已知图像过三点,则设一般式,代入后解方程组
(3)若已知顶点坐标,则设顶点式,结合其它条件,代入后解方程或解方程组
(4)若已知图像与x轴两交点坐标,则设两根式,代入后解方程。
2
10、熟练求抛物线yaxbxc(a0)的顶点坐标
22
(1)将yaxbxc(a0)配方得ya(xh)k(a0)则顶点为(h、k)
2
b4acb
(2)顶点坐标公式:(,)
2a4a
频率与概率
知识系统
必然事件(在一定条件下,必然不会发生的事件)
确定事件不可能事件(在一定条件下,必然不会发生的事件)
事件关注的情况
不确定事件随机事件一次试验P=
列举法求P所有可能的情况
发生的可能性有大小(概率P)两次以上试验:树状图或列表
用频率估计P
1
021
不可能事件随机事件可能性大小P必然事件
随机事件可能性大小,即概率P的计算方法:
一、简单随机事件P的求法:列举法
所要关注的情况
1、一次试验用定义法:P=
所有可能发生的情况
2、两次或两次以上的试验用画树状图或列表的方法
注意的问题:画树状图时一定要区分【放回】和【不放回】两种情况。如果是【不放回】的情况最好选择画树状图。
二、复杂随机事件P的求法:用频率估计概率。
用此方法的前提条件是【试验的次数足够多】。通过大量的试验发现,随着试验次数的增加,试验频
率会【在某一数值上下波动】即【稳定在某一数值】。这一数值就是该随机事件的概率P。
三、典型习题
,那么飞镖落在小圆内的概率为------(1/1600)
,可以有一个抽屉空着,那么两个抽
屉中至少都有两个球的概率是------(1/3)R=40
,2,3,4四个数字,从中任意抽出两张。①两张都是偶数
的概率------,②第一张为奇数,第二张为偶数的概率为------,③出现一奇一偶的概率是-------(1/6,1/3,2/3)r=1
,六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,,朝上
的数字分别是m、n。若把m、n作为点A的横、纵坐标,那么点A(m、n)在函数y=2x
的图像上概率是多少?(1/12):.
,长度分别为2,4,6,8,10(单位:㎝)从中任取三条能够成三角形的概率----
(3/10)
,现有以下四个关系式:①AB=CD②AD=BC③ABCD④A=C,从
中任取两个作为条件,能够得出这个四边形ABCD是平行四边形的概率是-------(1/2)
统计学专题复习
一、知识系统
抽样调查收整描分撰交
集理述析写流
数数数数调得
全面调查据据据据查出
报结
告论
统条折扇频数据的代表数据的波动
计形线形数
表统统统分
计计计布平众中极方标
图图图直均数位差差准
方数数差
图(平均水平)(离散程度)
用样本平均数估计总体平均数
用样本估计总体
用样本方差估计总体方差
二、统计学的基本概念
〖总体〗:要考察的全体对象称为总体
〖个体〗:组成总体的每一个考察对象成为个体
〖样本〗:被抽取的那些个体组成一个样本
〖样本容量〗:样本中个体的数目称为样本容量
举例:要考察某校九年级1000名学生的期末数学考试成绩,从中随机抽取200名学生的期末数学考
试成绩。
其中:该校1000名学生的期末数学考试成绩是总体;每一名学生的期末数学考试成绩是个体;从中
抽取的200名学生的期末数学考试成绩是总体的一个样本;样本容量是200。
〖抽样调查〗:只抽取一部分对象进行调查,然后根据调查数据推断全体对象的情况
〖全面调查〗:考察全体对象的调查叫做全面调查
举例:下面的调查是抽样调查还是全面调查?
(1)考察一批灯泡的使用寿命。(抽查)
(2)考察九年级一班的月考成绩。(全面调查)
(3)考察原子弹的杀伤半径。(抽查)
〖平均数〗:如果一组数据中有n个数据:a1、a、2a3...an那么这组数据的平均数
___1
X(a+1+1a+2a+.3..+a)n
n:.
___xx…x
〖加权平均数〗X=1122nn(其中,,…分别叫做x,x,…x的权)
12n12n
12…n
〖众数〗:一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数
〖中位数〗:将一组数据按大小排列后,位于中间位置的一个数或中间位置的两个数的平均数叫这组数
据的中位数
〖方差〗:一组数据中,每个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数叫这组数据的方差
___
2
如果一组数据中有n个数据:a1、a、2a3...an、其平均数为X,那么方差S=
1______
[(xx)2(xx)2...(xx)]
12n
n
〖标准差〗:一组数据的方差的算术平方根叫这组数据的标准差
1______
22
S=[(x1x)(x2x)...(xnx)]
n
〖极差〗:一组数据中,最大值与最小值的差叫这组数据的极差
〖组距〗把所有数据分成若干组,每个小组的两个端点之间的距离称为组距
〖频数〗各个小组内的数据的个数叫做频数
二、统计的基本思想
用样本估计总体:1、用样本平均数估计总体平均数。(2)用样本方差估计总体方差。
三、数据处理的一般过程解析
1、通过抽样调查或全面调查收集数据
2、将收集到数据制成统计表:项目---划记---频数---百分比
3、为直观地看出统计表中的信息可用〖条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图〗来直观地描述数据。
4、有比较才有鉴别,因此要将已经收集,整理、描述过的数据与另外一组数据进行比较分析:
(1)比较它们的平均水平即数据代表的三个方面:平均数,众数,中位数。注意:当用平均数代表平均
水平时,必须去掉极端值。(选拔竞赛选手除外)
(2)如果两组数据的平均水平一样,那么比较它们的离散程度即数据的波动大小:比较极差或方差或
标准差:方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据波动越小。
(3)在选拔竞赛型选手时,还要考虑最大值和最近几次成绩的折线走势。
通过以上几个方面的综合分析,最后作出决策。
5、填写实验报告
6、交流
四、画频数分布直方图或频数折线图
1、计算最大值与最小值的差
2、决定组距和组数
3、列频数分布表
4、画频数分布直方图(在此基础上画频数折线图):.
20
18频数
16(学生人数)
14
12
10
8
6
4
2
-10-514915251551581160116416715170173202530
-2身高/cm
数与式专题复习
一、数
1、数的分类
正整数
整数零
有理数负整数
正分数
实数分数负分数
无理数无限不循环的小数
2、有关概念:实数、有理数、无理数、数轴、相反数、绝对值、倒数、自然数、平方根、算术平方根、
立方根、二次根式、最简二次根式、同类二次根式、分母有理化
(1)实数:有理数和无理数统称为实数
(2)有理数:整数和分数统称为有理数
(3)无理数:无限不循环的小数叫无理数。如:……,,带且开方开不尽的数。
(4)数轴:规定原点、正方向、单位长度的直线。
(5)相反数:只有符号不同的两个数
(6)绝对值:在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值。即a
绝对值意义:一个正数的绝对值等于它本身;
a(a0)
一个负数的绝对值等于它的相反数;
零的绝对值零。即a0(a0)
a(a0)
(7)倒数:如果两个数的积等于1,那么这两个数互为倒数
(8)自然数:非负整数,如:0、1、2、3、4、……
2
(9)平方根、算术平方根:如果xa,那么x叫做a的平方根。xa其中a叫非负数a的算术
平方根
平方根意义:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;负数没有平方根;零的平方根是零。
(10)非负数a的正的平方根叫做a的是算术平方根
33
(11)立方根:如果xa,那么x叫做a的立方根。xa
(12)二次根式:式子a(a0)叫做二次根式
(13)最简二次根式:满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式:①被开放数中不能含有开得尽方的因数或因式②被开方数中不含有分母:.
(14)同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式
222
(15)分母有理化:利用(a)a(a0)和平方差公式(ab)(ab)ab将分母中的化去的
过程叫分母有理化。
3、有理数加减乘除运算及应用
4、二次根式的性质(1)a(a0)(2)a0(a0)(3)(a)2a(a0)(4)
a(a0)
2
aa0(a0)
a(a0)

aa
(5)abab(a0,b0)(6)(a0,b0)
bb
5、二次根式加减乘除运算
(1)加减法:化简后合并同类二次根式
(2)乘法:abab(a0,b0)
aa
除法:①(a0,b0)②分母有理化
bb
单项式
二、式整式
有理式多项式
分式
1、式的分类代数式
2、有关概念:无理式二次根式
代数式、有理式、整式、分式、最简分式、单项式、多项式、二次根式
(1)代数式:用基本运算符号(加,减,乘,除,乘方,开方)把数和表示数的字母连接起来的式子
都称为代数式。
(2)有理式:整式和分式统称为有理式
(3)整式:单项式和多项式统称为整式
AA
(4)分式:A、B是整式,A÷B可以写成的形式。如果B中不含字母,那么叫做分式。分式有意
BB
义的条件是B≠0;分式的值为零的条件是A=0,B≠0
最简分式:分式的分子和分母不含有公因式的分式叫做最简分式
分式的通分:
分式的约分:
(5)单项式:数或字母的积叫做单项式(其中单独一个数或一个字母也是单项式)
单项式的系数:单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数
单项式的次数:一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数
(6)多项式:几个单项式的和叫做多项式
多项式的项:多项式中的每个单项式叫做多项式的项
常数项:不含字母的项叫做常数项
多项式的次数:多项式里次数最高项的次数叫做这个多项式的次数
(7)同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数的和也相同的项叫做同类项
3、整式,分式,二次根式的运算
(1)整式的加、减、乘、除、乘方。:.
①加减法:去括号,合并同类项。
②乘法:单×单,单×多,多×多
③除法:单÷单,多÷单
mnmnmnmnnnnmnmn
幂的运算性质:aaa;aaa;(ab)ab;(a)a
0p1
a1(a0);ap(a0)
a
(2)分式的加减乘除乘方运算
acac
①分式的加减法法则:同分母分式相加减;
bbb
acadcb
异分母的分式相加减
bdbdbd
acacacadad
②分式的乘除法法则:;
bdbdbdbcbc
aan
n
③分式的乘方:()n
bb
(3)二次根式加、减、乘、除、乘方运算
①加减法:化简、合并同类二次根式。
②乘法:abab(a0,b0)
aaaabab
③除法:公式法(a0,b0)或分母有理化(a0,b0)或将分子、分
bbbbbb
母因式分解后再约分。
④乘方;(a)2a(a0):.
方程(组)与不等式(组)专题复习
一、方程与不等式知识框架
等式的基本性质
一元一次方程
整式方程二元一次方程(组)
等式方程(组)
分式方程一元二次方程
生活情境
不等式一元一次不等式(组)
不等式基本性质
二、有关基本概念、基本性质
等式的基本性质、不等式的基本性质、等式、方程、方程的解、整式方程、分式方程、一元一次方
程、二元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、不等式、一元一次不等式(组)、一元一次不等式
(组)的解集。。
1、等式的基本性质:(1)等式的两边同时加上或减去同一个整式所得的结果仍是整式
(2)等式的两边同时乘以或除以(除数不能是零)同一个数,所得的结果仍是等
式
2、不等式的基本性质:(1)不等式的两边同时加上或减去同一个整式,不等号的方向不变
(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数,不等号的方向不变
不等式的两边同时乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变
3、等式:表示相等关系的式子叫整式
4、方程:含有未知数的等式叫做方程
5、方程的解:使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解
6、整式方程:等式的两边都是整式的方程叫做整式方程
7、分式方程:分母中含有未知数的方程叫做分式方程
8、一元一次方程:只含有一个未知数并且含有未知数的项的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程
9、二元一次方程组:含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元一次方
程
10、二元一次方程组:由两个二元一次方程或由一个一元一次方程和一个二元一次方程组成的方程组叫做
二元一次方程组
11、一元二次方程:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程
12、不等式:表示不等关系的式子叫做不等式
13、一元一次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式
14、一元一次不等式组:两个一元一次不等式组成一元一次不等式组。
三、方程(组)、不等式(组)的解法
1、一元一次方程的解法:去分母---去括号---移项---合并同类项---系数化为1
2、二元一次方程组的解法:代入消元法;加减消元法
3、一元二次方程的解法:直接开平方法;配方法;公式法;因式分解法
4、分式方程的解法:去分母转化为整式方程---解整式方程---检验是否为增根---扣题
5、一元一次不等式的解法:去分母---去括号---移项---合并同类项---系数化为1:.
6、一元一次不等式组的解法:分别解每个不等式---取每个不等式解集的公共解集
四、综合应用