初二下数学四边形知识点总结复习资料.pdf

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四边形(平行四边形、矩形、菱形、正方形)期中复****br/>知识与技能:掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判定方法,灵活运用
这些知识进行有关的证明和计算;培养学生阅读的技能,进一步培养和发展学生的逻辑思维能力与推理论证能力。
过程与方法:1、在综合问题解决过程中,学会阅读综合问题的方法,获取有价值的数据的
方法;
2、经历综合问题的探索过程,学会分析问题的方法。
3、经历一题多解,多题一解,培养学生的发散思维,关注知识间的联系。
情感态度与价值观:1、在问题解决过程中培养学生的数学素养和严谨的科学态度;
2、在问题解决过程中,让学生获得成功体验。
教学重点:阅读,对基本图形的认识。
教学难点:审题,寻找解决问题的突破口。
教学过程:
一、知识要点回顾:(在复****前提前将表格印好,让学生回家完成)见附件1
二、例题讲解:
例1:如图,在ABCD的纸片中,AC⊥AB,AC与BD交于O,将△ABC沿对角线AC
'
翻折得到ABC.
'
(1)求证:以A、C、D、B为顶点的四边形是矩形;
2
(2)若SABCD12cm,求翻折后纸片重叠部分的面积,即SACE.
意图:1、平行四边形的性质、矩形的判定定理的综合应用;
2、实现一题多解,有选择的运用矩形的判定定理,评析证明方法的优劣。
3、等积变换,以及对三角形底的选择直接影响到求面积的难易程度。
例2:我们给出如下定义:若一个四边形的两条对角线相等,则称这个四边形为等对角
:
(1)写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称;
(2)探究:当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时,这对60°角所对的
两边之和与其中一条对角线的大小关系,并证明你的结论.
意图:如何实现构造两条线段之和及将夹角进行有效转移
:.
例3:如图,已知ABCD中,AE平分BAD,交DC于E,DFBC于F,交
AE于G,且DFAD。
       
(1)试说明DEBC;
(2)试问AB与DGFC之间有何数量关系?写出你的结论,并说明理由。
AD
G
E
BFC
解法1:(见图1)
延长GD到H,使得DHFC,连结AH,实现将DGFC转化为线段HG;
解法2:(见图2)
延长CB到H,使得FHDG,连结DH,实现将DGFC转化为线段CH;
解法3:(见图3)
延长CF到H,使得BHCF,将ADG绕点A顺时针旋转90,得到AHG,
        
                 
实现将DGFC转化为线段BG;
H
ADADAD
GGG
EEE
BFCHBFCG'HBFC
图1图2图3
解法4:(见图4)如图建立平面直角坐标系,设ABa,CFb,
22
则A(0,a),B(b,0),F(a,0),C(ba,0),D(a,a),ABab,
DFa
可证得BHAB,则H(a2b2b,0),
aba2b2
可求得lDF:xa,lAH:yxa即yxa
22a
abb
xa
22
ba2b2则G(baba,a)
yxa
a
DGDFGFa2b2bABFC:.
                      
解法5:见图5:如图建立直角坐标系,解法同解法4
yy
AD(A)D
Ox
GG
EE
OBFCHxBFCH
图4图5
      
       
将此题还原对比:
在AHFD中,AG平分DAB交DF于点G,证明:ABDGHB
ADAD
GG
E
HBFBFC
还原图例题图
意图:1、解法1、2、3均强调如何构造两条线段的和,运用了平移、旋转变换构造;
2、解法4、5均强调将几何问题代数化,初步渗透高中解析几何的思想。
体会(1)建立平面直角坐标系的可能。即存在直角。或有特殊的基本图形存在,
如等腰直角三角形、正方形;
(2)坐标原点和x轴的选择直接影响到写出点的坐标的难易程度。
提示:针对(2)可留Ex1作为练****作业:
3、关注题目中的重要条件,抓注基本特征,将图形有效还原。
例4:如图①,小明在研究正方形ABCD的有关问题时,得出:正方形ABCD中,如果点
E是CD的中点,点F是BC边上的一点,且∠FAE=∠EAD,那么EF⊥
改为矩形、菱形和任意平行四边形(如图②、图③、图④),其它条件不变,发现仍然
有“EF⊥AE”?若同意,请结合图④加以证明;若不同意,
:.
例5:请阅读下列材料:
问题:如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A,B,E在同一条直线上,P是线段

DF的中点,连结PG,ABCBEF60,探究PG与PC的位置关系及
PG
:延长GP交DC于点H,构造全等三角形,经过推理使问题
PC
得到解决.
请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:
PG
(1)写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值;
PC
(2)将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转,使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形
ABCD的边AB在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2).你在(1)中得到的
两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.
对于例4、例5
意图:1、培养良好的审题****惯;
2、注意中点的作用;      
3、注意在动中求静;
4、性质的熟练应用
例6、1、已知:ABC中,D是BC边的中点,AE平分BAC,BEAE于点E。若
     AB5,AC7。
求ED
A
A
F
EE
BDCBDC
1
2、点A为函数y的图象上的点,点B、C的坐标分别为B(2,2),
x:.
1
    C(2,2)。试用性质:函数y的图象上任一点都满足
x
ABAC22,求解下面问题:做BAC的平分线AE,过B作AE的垂线交
1
AE于F,已知点A在函数y的图象上运动时,点F总在一条曲线上运动,则此
x
曲线为()
A、直线B、抛物线C、圆D、反比例函数曲线
意图:比较两题,2题比1题从字数上就多很多,但若认真审题会发现题干中有相同
的条件,蕴涵着相同的基本图形。
A
F
E
B
例7、已知:分别以ABC的各边为边,在BC边的同侧作等边三角形ABE、等边三角形
CBD和等边三角形ACF,连结DE、DF。
(1)试说明四边形DEAF为平行四边形;
      
(2)当ABC满足什么条件时,四边形DEAF为菱形、矩形、正方形;
(3)四边形DEAF一定存在吗?试说明理由。
D
E
F
A
BC
意图:1、关注旋转全等形;
2、检验平行四边形、特殊的平行四边形的判定定理的熟练程度;
3、逆向思维的能力。
:.
三、巩固练****br/>1
Ex1:在正方形ABCD中,E为AD中点,点F在CD上,且DFCD,
4
连接BE、E、FBF,试问      BE与EF的位置关系如何?并说明理由。
(此题至少3种做法,其中倍长和建系做法尤佳)
AED
F
BC
Ex2:正方形ABCD边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上的一动点,
      
则DM+MN的最小值为 .
(注意正方形的对称性)AD
M
N
BC
Ex3:我们知道:,我们定义:至少有一组
对边相等的四边形叫做等对边四边形.
(1)请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称;
(2)如图,在△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,设CD、BE相交于点O,若
1
∠A=60°,∠DCB=∠EBC=A,请你写出图中一个与∠A相等的角,并猜想图中哪
2
个四边形是等对边四边形;
(3)在△ABC中,如果∠A是不等于60°的锐角,点D、E分别在AB、AC上,且
1
∠DCB=∠EBC=:满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形,并证明
2:.
你的结论.
(针对例4、例5)
EX4:如图,ABC中,过点A分别作ABC、ACB的外角平分线的垂线AD、AE,D、E
为垂足。
求证:(1)ED//BC;
       
1
(2)ED(ABACBC);
2
(3)若过A分别作ABC、ACB的平分线的垂线AD、AE,垂足分别为
D、E。结论有无变化?请加以说明。
(针对例6)
A
DE
FBCG
EX5:ABC中,AB3,AC      4,BC5,ABD、、ACEBFC都是等边三角形。
求四边形ADFE的面积。
(针对例7)
F
E
D
A
BC:.
附件1:
知识归纳:
1、在线段、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形、圆、正五边形、正六边形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是
。
2、平行四边形的性质:与边有关的___________________________。与角有关____
_,
对角线________________________。
平行四边形的判定:(1)_____________________________。(2)
__________________________。
(3)_____________________________。(4)______________________________。(5)
______________________________。F
3、矩形
(1)矩形具有平形四边形的所有性质,还具有自己的性质:
①矩形的每个角都是;②矩形的对角线且.
(2)矩形的判定:
①;②;
③;④.
4、菱形
菱形具有平行四边形的一切性质,还具有自己的性质:
(1)菱形的四条边都;
(2):.
菱形的判定:
① ②
③ ④
菱形的面积:菱形的面积等于的积,也等于积的一半。
5、正方形
:(1)
(2)(3)
(4)(5)
(6)
二、几种特殊四边形的性质
边角对角线对称性周长面积
平行对边平行对角相等,两条对角线中心对称邻边之和
四边形且相等邻角互补互相平分的2倍底×高
对边平行四个角两条对角线轴对称邻边之和
矩形都是直角长×宽
且相等互相平分且相等中心对称的2倍
菱形对边平行,对角相等,两条对角线互相垂轴对称边长的对角线乘
四条边都邻角互补直平分,每条对角中心对称4倍积的一半
相等线平分一组对角
对边平行,两条对角线互相边长×边
四条边都四个角轴对称边长的长或
正方形垂直平分且相等,
相等都是直角每条对角线平分中心对称4倍对角线乘
一组对角积的一半
等腰两底平行,同一底上的腰长的2倍(上+下)
梯形两腰相等两个角相等两条对角线相等轴对称+两底×高÷2
特殊四边形的性质
边角对角线对称性周长面积
平行四
边形
矩形
菱形
正方形:.
三、特殊四边形的常用判定方法
平行(1)两组对边分别平行;(2)两组对边分别相等;(3)一组对边
四边形平行且相等。(4)两条对角线互相平分;(5)两组对角分别相等。
(1)有三个角是直角;(2)是平行四边形,并且有一个角是直角;
矩形(3)是平行四边形,并且两条对角线相等。
(1)四条边都相等;(2)是平行四边形,并且有一组邻边相等;
菱形
(3)是平行四边形,并且两条对角线互相垂直。
(1)是矩形,并且有一组邻边相等;(2)是菱形,并且有一个角是直角。
正方形
(3)是矩形,并且对角线垂直;(4)是菱形,并且对角线相等。
等腰(1)是梯形,并且同一底上的两个角相等;
梯形(2)是梯形,并且两条对角线相等。
特殊四边形常用的判定方法
平(1)
行(2)
四(3)
边(4)
形(5)
矩形(1)
(2)
(3)
菱形(1):.
(2)
(3)
正方形(1)
(2)
(3)
(4)
对角线与特殊四边形的关系




对角线与特殊四边形的关系