文档介绍：第九章方差分析
一、内容提要
1 单因素方差分析
(1)问题提出
2
设因素A具有k个水平A1,A2,…,Ak在水平Ai下总体服从等方差的正态分布N(μi,σ),i=1,2,…,k.
其中σ>0,μ1,μ2,…,μk是未知参数。今在水平Aj下进行nj次试验,得到样本观测值
xij, j=1,2…,k,i=1,2,…,nj.
欲检验k个水平对事物变化所施加的影响有无显著性差异,即要检验k个总体的均值μ1,μ2,…,μk是
否相等。检验假设是
H0:μ1=μ2=…=μk ()
(2)平方和分解
k n j 1 n j 1
记
.. = ∑∑ ij , xxx = j = ∑ ij ,..., xxxx j = x. j
j==11i n i=1 n j
其中n=n1+n2+…+nk,j=1,2,…, x 为总平均, x j 为第j个试验水平A上的组内平均。记
k n j
2
St = ∑∑()ij − xx
j==11i
k
2
A ∑ j ( j −= xxnS )
j=1
k n j
2
S R = ∑∑()ij − xx j
j==11i
称St为总离差平方和(简称为总平方和);SA为组间平方和(条件误差—水平变化引起的);SR为组内
平方和(或误差平方和)。很显然,SA越大,水平变化对总体的影响越大。可以证明:
St=SA+SR ()
称()式为总平方和分解公式。记
ƒt=n-1, ƒA=k-1, ƒR=n-k.
按平方和自由度的定义不难得到,ƒt,ƒA,ƒR分别是St,SA与SR的自由度。显然有
ƒt=ƒA+ƒR ()
称()式为总平方和自由度分解分式。
(3)显著性检验
可以证明,当假设H0成立时,统计量
(kS −1/ )
F = A (),1~ −− knkF
R /()− knS
(4)表格化计算(如表 )
实际计算时,常采用如下简化公式
k n j
2 2
t ∑∑ ij −= xnxS
j==11i
k
22
A ∑ jj −= xnxnS
j=1
= − SSS AtR
计算各平方和,且可以表格化计算如表。
(6)其它(单因素方差分析表见表 )
对任意两个不同组的组均值μi和μj,要检验其差异是否显著,可以使用统计量
− xx ji
tij = ()
⎛ 11 ⎞ S
⎜+ ⎟ R
⎜⎟
⎝ nn ji ⎠− kn
当假设 H:μi=μj
成立时,tij统计量服从自由度为n—k的t分布。
要判断μi与μj差异是否显著,也可以单独对水平Ai与Aj上的观测数据作单因素方差分析。
表单因素方差分析计算表
水平 A1 A2 … Ak 总和
x11 x12 x1k
x21 x22 x2k
样本值…………
x x x
n11 n2 2 k kn
n1 n2 nk k n j
x x x x
求和∑ i1 ∑ i2 …∑ ik ∑∑ ij
i=1 i=1 i=1 j==11i
(列加) (列加) (列加) (行加)
容量 n1 n2 … nk n
平均值 x1 x2 … xk x
k
平均值 2
2 2 … 2 x
x1 x2 xi ∑ j
平方 j=1
n1 n2 nk k n j
2 2 2 2
x x x x
平方和∑ i1 ∑ i2 …∑ ik ∑∑ ij
i=1 i=1 i=1 j==11i
(列加) (列加) (列加) (行加)
表单因素方差分析表
平方和自由度均方 F 值临界值显著性
S A MS A
组间SA fA MS A = F = Fa(fA, fR)
f A MSR
S R
组内SR fR MS A =
f R
总和St ft

2. 双因素无重复试验的方差分析
(1)问题提出
设因素A,B同时对试验结果(总体X)发生作用。因素A有m个水平A1,A2,…,Am;因素B有r
个水平B1B ,B2B ,…BrB 。因素A,B的水平组合(Ai,BjB )(i=1,2,…,m;j=1,2,…,r)构成了新的组合试验,
共有mr个水平的这种组合试验。若将组合水平(Ai,Bj)视为总体Xij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,r),于是得
到mr个总体。我们假定它们相互独立,且服从等方差的